1、第7讲 抛物线1(2018广州七校联考)抛物线x2y的焦点坐标是_解析 由x2yx24y，于是焦点坐标为(0，1)答案 (0，1)2(2018连云港模拟)顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(4，2)的抛物线方程是_解析 设抛物线方程为x2my，将点P(4，2)代入x2my，得m8.所以抛物线方程是x28y.答案 x28y3抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为_解析 由c2945得F(，0)，则抛物线方程为y24x.答案 y24x4已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AFx0，则x0_解析 由题意知抛物线的准线为x.因为AFx0，根据抛物线的定
2、义可得x0AFx0，解得x01.答案 15如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米解析 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，由题意知抛物线过点(2，2)，代入方程得p1，则抛物线的方程为x22y，当水面下降1米时，为y3，代入抛物线方程得x，所以此时水面宽为2米答案 26(2018云南省第一次统一检测)已知抛物线C的方程为y22px(p0)，M的方程为x2y28x120，如果抛物线C的准线与M相切，那么p的值为_解析 将M的方程化为标准方程：(x4)2y24，圆心坐标为(4，0)，半径r2，又因为抛物线的准线方
3、程为x，所以2，p12或4.答案 12或47已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则QF_解析 过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以PQPF34，又焦点F到准线l的距离为4，所以QFQQ3.答案 38过抛物线y24x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足(O为坐标原点)，则BOF的面积是_解析 由题可知F(1，0)，可设过焦点F的直线方程为yk(x1)(可知k存在)，则A(0，k)，所以B(1，k)，由点B在抛物线上，得k24，k2，即B(1，2)，SBOFOF|yB|121.答案 19已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴
4、上，若抛物线的准线与双曲线5x2y220的两条渐近线围成的三角形的面积为4，则抛物线方程为_解析 由双曲线方程5x2y220知其渐近线方程为yx，由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，故其准线方程为x，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A，B，则不妨令A，B，故SABOpp24，解得p216，又因为p0，所以p4，故抛物线方程为y28x.答案 y28x10抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1，2)若点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为_解析 因为点A在抛物线上，所以42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点F(1，0)，设点B(x1，y1)，点C(x2，y
5、2)，则有y4x1，y4x2，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)得kBC.又因为0，所以y1y22，所以kBC2.又因为1，所以x1x22，所以BC的中点为(1，1)，则BC所在直线方程为y12(x1)，即2xy10.答案 2xy1011(2018江苏省四校联考)已知抛物线y22x上有四点A(x1，y1)、B(x2，y2)，C(x3，y3)、D(x4，y4)，点M(3，0)，直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.(1)求y1y2的值；(2)求证：MPMQ.解 (1)设直线AB的方程为xmy3，与抛物线方程联立得：y22my60
6、，所以y1y26.(2)证明：直线AC的斜率为，所以直线AC的方程为y(xx1)y1.所以点P的纵坐标为yP，同理点Q的纵坐标为yQ，所以yPyQ0，又PQx轴，所以MPMQ.12在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F且与直线OA垂直的直线方程；(3)设过点M(m，0)(m0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式解 (1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y22px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p1.因此抛物线C的标准方程为y22x.(2)
7、由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直线的斜率为1，因此所求直线的方程是xy0.(3)设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是yk(xm)，k0.将xm代入y22x，有ky22y2km0，解得y1，2.由ME2DM知12(1)，化简得k2.因此DE2(x1x2)2(y1y2)2(y1y2)2(m24m)，所以f(m) (m0).1设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为_解析 由题可知抛物线焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2，令x0，可
8、得A点坐标为，所以SOAF4，得a8，故抛物线方程为y28x.答案 y28x2(2018南通质检)已知点M(3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则MQQF的最小值是_解析 抛物线的准线方程为x，当MQx轴时，MQQF取得最小值，此时点Q的纵坐标y2，代入抛物线方程y22x得Q的横坐标x2，则(QMQF)min|23|.答案 3(2018无锡模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于_解析 记抛物线y22px的准线为l，如图，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是A1，B
9、1，C，则有cosABB1，即cos 60，由此得.答案 4(2018鹰潭模拟改编)直线x1与抛物线C：y24x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记向量ab(a，bR)，其中O为抛物线C的顶点给出下列命题：a，bR，PMN不是等边三角形；a0且b0，使得向量与垂直；无论点P在准线上如何运动，ab1总成立其中，所有正确命题的序号是_解析 根据题意可知，当点P落在准线与x轴的交点时，PMPN2MN4，所以PMN不是等边三角形，所以无论P在何处即a，bR，PMN都不是等边三角形故正确，根据题意不妨令M(1，2)，N(1，2)，令0，即(ab)12(2a2b)0，整理得3a5b，所以a0且b
10、0.AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.6如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点解 (1) 依题意，OB8，BOy30.设B(x，y)，则xOBsin 304，yOBcos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设定点为M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)
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