1、 2022-2023学年第一学期期中考试试卷高二年级数学（考试时间120分钟满分150分）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据直线方程求得斜率，然后利用求解.【详解】设直线的倾斜角为，因为直线方程为，所以直线的斜率为，所以，因为，所以.故选：B2. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心，
2、则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.3. 已知空间四点，共面，则（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】根据四点共面推出向量共面，再根据共面向量定理列式可求出结果.【详解】因为，所以，因为空间四点，共面，所以、共面，所以存在实数使得，所以，所以，解得.故选：D4. 已知圆过，三点，则圆的方程是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设圆的方程为，解方程组即得解.【详解】设圆的方程为，由题意得，解得，圆的方程是故选：D【点睛】方法点睛：求圆的方程，一般
3、利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.5. 如图，在平行六面体中，点M为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得.故选：A.6. 若过点的直线与以点为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先在直角坐标系中作出三点，再求出的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可知直线的倾斜角的取值范围.【详解】如图所示，设的倾斜角为，的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为，易得，又因为，所以，所以所
4、求直线的倾斜角的取值范围为.故选：A.7. 若圆与圆相切，则实数的取值集合是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，即可求出圆心坐标与半径，再分两圆相内切与外切两种情况讨论，分别得到方程，解得即可；【详解】解：圆，即圆，圆心为，半径，圆，即，圆心为，半径；当两圆相外切，则圆心距等于半径之和，解得或，当两圆相内切，则圆心距等于半径之差，解得或，综上可得；故选：D8. 已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA平面ABC，ABAC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为（）A. 6B. 8C. 12D. 16【答案】A【解析】【分析】首先利用补体，将三棱锥
5、补体在长方体中，然后根据条件求长方体的外接球的半径和该球的表面积.【详解】如图，三棱锥补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径，即，则该球的表面积.故选：A【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 已知空间向
6、量，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC；直接求向量的模可判断B；分别求出在上的投影和与同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计算可判断D.【详解】因为所以，所以，A正确；因为，所以B正确；，因为，所以与不平行，故C错误；在上的投影，与同向的单位向量为，所以在上的投影向量为，D正确.故选：ABD10. 下列选项正确的是（）A. 过点且和直线垂直的直线方程是B. 若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是C. 若直线与平行，则与的距离为D. 已知点，则点关于原点对称点的坐标为【答案】ACD【解析】【分析】对
7、于A，结合直线垂直的性质，即可求解，对于B，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解，对于C，结合直线平行的性质，即可求解，对于D，根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解【详解】对于A，设与直线垂直的直线方程为：，把点代入，解得，过点，且与直线垂直直线方程是，故正确；对于B，且，当，时，当时，直线倾斜角的取值范围是，故错误；对于C，若直线与平行，则，解得，故与的距离是：，故正确；对于D，点A关于原点对称点的坐标为，故正确故选：ACD11. 过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程【详解】根
8、据题意知圆的圆心为，半径，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意；若切线的斜率存在，设切线方程为，即，则有，解可得，所以切线方程为，综上可知，切线方程为或.故选：BC12. 已如函数，则以下结论正确的是（）A. 函数yf（x）存在极大值和极小值B. C. 函数y存在最小值D. 对于任意实数k，方程kx最多有3个实数解【答案】BC【解析】【分析】利用导数证明函数在x3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；利用函数的单调性证明B正确；证明kx有4个实数解，故D错误.【详解】解：，当x3时，函数单调递增，当x3时，函数单调递减，函数在x3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，
9、A错误，C正确；当x3时，函数单调递增，且，所以，B正确：由kx得有一零点x0，令，则，如图，当x0或x2时，函数单调递增，当2x0时，函数单调递减，又，h（0）0，当时，与yk有3个交点，此时kx有4个实数解，故D错误，故选：BC.三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在正方体中，二面角的余弦值为_【答案】#【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，设平面和平面的法向量分别为和，则，取，得，取，得，则，显然二面角是钝二面角，所以其
10、余弦值为故答案为：14. 已知点分别是圆及直线上的动点，是坐标原点则最小值为_.【答案】1【解析】【分析】因为，表示圆上的点到直线上点的距离，要求最小值，则转化为圆上的点到直线的距离，为此最小值即为圆心到直线的距离减去半径，所以再求圆心到直线的距离即可.【详解】因为，表示两点间的距离，又因为分别是圆及直线上的动点，所以的最小值为圆心到直线的距离减半径，圆心到直线的距离所以圆上的点到直线的最小值为所以最小值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了向量模的几何意义和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15. 中，A为动点，且满足，则A点的轨迹方程为_【答案】.【解
11、析】【分析】根据正弦定理和椭圆的定义进行求解即可.【详解】根据正弦定理，由，所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，由，所以A点的轨迹方程为，故答案为：.16. 已知空间向量，那么在上的投影向量为_.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的概念与几何意义，结合投影向量的计算方法，即可求解.【详解】由题意，空间向量，可得，所以在上的投影向量为，故答案为：.四、解答题；本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.（1）当P为弦的中点时，求直线l的方程；（2）若直线l与直线平行，求弦的长.【答案】（1）（2）【解析
12、】【分析】（1）由题意，求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解；（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.【小问1详解】解：由题意，圆心，P为弦的中点时，由圆的性质有，又，所以，所以直线l的方程为，即；【小问2详解】解：因为直线l与直线平行，所以，所以直线方程为，即，因为圆心到直线的距离，又半径，所以由弦长公式得.18. 如图，已知，为空间的个点，且，（1）求证：，四点共面，四点共面；（2）求证：平面平面；（3）求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用空间向量共面定理即可求证；（2
13、）由空间向量线性运算可得，由空间向量共线定理可证明，再由线面平行的判定定理可得平面，同理可证明平面，由面面平行的判定定理即可求证；（3）由（2）知，再利用空间向量的线性运算即可求证.【小问1详解】因为，所以，共面，即，四点共面因为，所以，共面，即，四点共面【小问2详解】连接，所以，又因为平面，平面，所以平面因为，所以，又平面，平面，所以平面，因为与相交，所以平面平面【小问3详解】由（2）知，所以19. 已知直线，（）若，求，间的距离；（）求证：直线必过第三象限【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）根据，求出参数，再根据平行线间的距离公式求出距离；（）求出直线恒过定点，该定点在第三象
14、限即可详解】（）若，直线，则有，求得，故直线即：，故，间的距离为（）证明：直线，即，必经过直线和直线的交点，而点在第三象限，直线必过第三象限【点睛】两直线平行求参数时，要注意检验直线是否有重合的情况.20. 如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，分别为棱，的中点，且，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）推导出，由此能证明平面（2）推导出平面，平面，以为原点，为，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）证明：，分别为棱，的中点，即，平面，平面（2）解：由（1）知平面，平面，又是等腰直角三角形，是
15、中点，以为原点，为，轴，建立空间直角坐标系，则则设平面的法向量，则，取，得，直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21. 国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.九章算术作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，
16、或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA平面ACB.（1）如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；（2）如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角大小；（3）如图2，若平面APC平面BPC，求证：四面体为鳖臑.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明DE平面ABC；（2）先作出直线PB与平面APC所成角，再去求其大小即可解决；（3）先证明平面APC，进而得到四面体四个面均为直角三角形，则四面体为鳖臑.【小问1详解】由D、E分别是P
17、C、PB边的的中点，可得，又平面ABC，平面ABC则DE平面ABC【小问2详解】由PA平面ACB，平面ABC，可得又，,平面APC，平面APC则平面APC，则为直线PB与平面APC所成角.又，可得则中，则则直线PB与平面APC所成角为【小问3详解】在中，过点A作于G，又平面APC平面BPC，平面APC平面BPC则平面BPC，又平面PBC，则，由PA平面ACB，平面ABC，可得又，平面APC，平面APC则平面APC，又平面APC，平面APC则,，则为直角三角形又为直角三角形，则四面体为鳖臑.22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C：（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；（2）若M，N为圆C上不同的
18、两点，过点M，N分别作圆C的切线，若与相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足，若直线：上存在唯一的一个点T，使得，求实数a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆的一般方程求得圆心和半径，结合圆与轴相切求得的值.（2）求得的轨迹方程，结合直线：上一存在唯一点，使得列方程，解方程求得的值.【详解】（1）圆的方程可以化为：，所以圆心，半径为2，因为圆与轴相切，所以，所以.（2）因为点在圆上，且，所以，因为分别是圆的切线，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上，所以点的轨迹方程为，设，由得，所以，即，所以，因为直线：上一存在唯一点，使得，所以只有一组解，所以，所以【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.
