1、浦东新区2017高三期中联考数学卷2016.11一. 填空题1. 设全集，集合，则 2. 函数的反函数为，则 3. ，则函数的值域是 4. 已知集合，则 5. 正三棱柱，则与平面所成角正弦值为 6. 已知一组数据、的平均数是，则这组数据的中位数是 7. 若不等式的解集中的整数有且仅有、，则的取值范围 8. 的展开式中的系数是 9. 从总体中抽取一个样本：、，则总体标准差的点估计值为 10. 已知是奇函数，且，若，则 11. 已知，且，则使成立的的集合是 12. 在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、两两垂直，且长度分别为、，设棱锥底面上的高为，则 二. 选择
2、题13.“”是“在定义域内为增函数”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要14. 直线、相交于点，、成角，过点与、都成角的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条15. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知三个球的半径、满足，则它们的表面积、满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 17. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 18. 我们定义渐近线：已知曲线，如果存在一条直线
3、，当曲线上任意一点沿曲线运动时，可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线；下列函数：；其中有渐近线的函数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三. 解答题19. 用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离； 20. 已知全集，集合，求，；21. 三棱锥中，底面，若底面是边长为2的正三角形，且与底面所成的角为，若是的中点，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）22. 甲厂以千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是
4、元；（1）写出生产该产品小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求的取值范围；23. 已知函数；（1）作出函数的图像；（2）根据（1）所得图像，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点（3）关于的方程恰有6个不同的实数解，求的取值范围；2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2016秋浦东新区期中）设全集U=R，集合A=x|x2，B=y|y=x2+1，则（，2）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】求出关于A、B的范围
5、，得到B的补集，从而求出即可【解答】解：集U=R，集合A=x|x2=（，2），B=y|y=x2+1=1，+），UB=（，1），（，2），故答案为：（，2）【点评】本题考查了函数的值域的解法，考查集合的运算，是一道基础题2（5分）（2016秋浦东新区期中）函数f（x）=x21（x0）的反函数为f1（x），则f1（2）=【考点】反函数【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令f（x）=2，且x0，求出x的值即可【解答】解：根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数f（x）=x21=2，其中x0，解得x=；所以f1（2）=故答案为：【点评】本题考
6、查了函数与它的反函数的性质与应用问题，是基础题目3（5分）（2016秋浦东新区期中）x1，则函数y=x+的值域是3，+）【考点】函数的值域【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用不等式法求值域即可【解答】解：x1，则，x10，；那么：函数y=x+=x1+1=3，当且仅当x=2时取等号所以函数y的值域是3，+）【点评】本题考查了函数值域的求法高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法要根据题意选择4（5分）
7、（2016秋浦东新区期中）已知集合A=x|x|2，xR，B=x|4，xZ，则AB=0，1，2【考点】交集及其运算【专题】计算题；转化思想；综合法；集合【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合A=x|x|2，xR=x|2x2，B=x|4，xZ=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，AB=0，1，2故答案为：0，1，2【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用5（5分）（2010攀枝花三模）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为【考点】直线与
8、平面所成的角【专题】计算题；转化思想【分析】根据题，过取BC的中点E，连接C1E，AE，证明AE面BB1C1C，故AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，解直角三角形AC1E即可【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE则AEBC，正三棱柱ABCA1B1C1中，面ABC面BB1C1C，面ABC面BB1C1C=BC，AE面BB1C1C，AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在RtAC1E中，AB=AA1，sinAC1E=故答案为：【点评】考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题6（5分）（2010浦东新区二模）已
9、知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是8【考点】众数、中位数、平均数【专题】分类讨论【分析】发散思维，考查学生对于定义的明确掌握先求出关于未知数的式子，再分情况讨论问题【解答】解：由题意知：（7+8+9+x+y）5=8，化简可得又因为该组数据为5个，则中位数对应位置（5+1）2=3当x=y时，得x=y=8显然，改组数据中位数为8当xy时，不妨设xy，又因为x+y=16，可以得到x8y，此时中位数也为8【点评】学生要学会具体情况具体分析，将题目分情况讨论，便于解题过程的明晰7（5分）（2008山东）若不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5b7
10、【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；压轴题【分析】首先分析题目已知不等式|3xb|4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求b的取值范围，考虑到先根据绝对值不等式的解法解出|3xb|4含有参数b的解，使得解中只有整数1，2，3，即限定左边大于0小于1，右边大于3小于4即可得到答案【解答】解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有故答案为5b7【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法问题，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题型对于此类基础考点在高考中属于得分内容，同学们一定要掌握8（5分）（2016秋浦东新区期中）（1+x）7的展开式中x2的系数是21【考点】二项式系数的性质【专题
11、】计算题；二项式定理【分析】由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是Tr+1=xr故展开式中x2的系数是=21故答案为：21【点评】本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键9（5分）（2016秋浦东新区期中）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为【考点】极差、方差与标准差【专题】对应思想；定义法；概率与统计【分析】根据平均数与方差、标准差的计算公式，即可求出结论【解答】解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为：=（3+7+4+6+5）=5，方
12、差为s2=（35）2+（75）2+（45）2+（65）2+（55）2=2，所以标准差为s=故答案为：【点评】本题考查了平均数，方差与标准差的计算问题，是基础题目10（5分）（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（1）=1【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】计算题【分析】由题意，可先由函数是奇函数求出f（1）=3，再将其代入g（1）求值即可得到答案【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3所以g（1）=f（1）+2=3+2=1故答案为：1【点评】本题考查函数
13、奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型11（5分）（2016秋浦东新区期中）已知f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1x），a0且a1，则使f（x）g（x）0成立的x的集合是当0a1时，原不等式的解集为x|1x0；当a1时，原不等式的解集为x|0x1【考点】对数函数的图象与性质【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性整理不等式为loga（x+1）loga（1x），对底数a分类讨论得出x的范围【解答】解：f（x）g（x）0，即 loga（x+1）loga（1x）0，loga（x+1）loga（
14、1x）当0a1时，上述不等式等价于，解得1x0；当a1时，原不等式等价于，解得0x1综上所述，当0a1时，原不等式的解集为x|1x0；当a1时，原不等式的解集为x|0x1故答案为：当0a1时，原不等式的解集为x|1x0；a1时，原不等式的解集为x|0x1【点评】本题考查不等式的解法，对底数a的分类讨论是关键12（5分）（2013辽宁一模）在RtABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥SABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则+【考点】类比推理【专题】探究型【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的
15、类比：平面空间，点点或直线，直线直线或平面，平面图形平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可【解答】解：PA、PB、PC两两互相垂直，PA平面PBC设PD在平面PBC内部，且PDBC，由已知有：PD=，h=PO=，即 故答案为：【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13（5分）（2016秋浦东新区期中）“a1”是“f（x）=（a1）ax在定义域内为增函数”的（）条
16、件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；定义法；简易逻辑【分析】根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当a1时，a10，ax在定义域内为增函数，则f（x）=（a1）ax在定义域内为增函数”成立，即充分性成立，若0a1，a10，ax在定义域内为减函数，满足f（x）=（a1）ax在定义域内为增函数”，此时a1不成立，即必要性不成立，故“a1”是“f（x）=（a1）ax在定义域内为增函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质以及充分条件和必要
17、条件的定义是解决本题的关键14（5分）（2010秋仓山区校级期末）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60角，过点O与a、b都成60角的直线有（）A1条B2条C3条D4条【考点】异面直线及其所成的角【专题】探究型【分析】本题宜用作出相应的图象来辅助说明过点O与a、b都成60角的直线存在情况，一图一析，【解答】解：在a、b所确定的平面内有一条如图，平面外有两条如图故选C【点评】本题考查异面直线所成的角，确定与直线所成角为多少度的线的个数，本题用语言不易说明，比较抽象，故采取了用图象辅助的方法，图象语言，直观易懂，要学会熟练使用图象语言来表述问题15（5分）（2016秋浦东新区期中）有5本不同的书
18、，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】先求出基本事件总数n=，再求出同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m=，由此能求出同一科目的书都相邻的概率【解答】解：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数n=120，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m=24，同一科目的书都相邻的概率为p=故选：A【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列知识的
19、合理运用16（5分）（2016秋浦东新区期中）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）AS1+2S2=3S3B+=C+2=3D+4=9【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果【解答】解：因为S1=4R12，所以=2，同理：=2，=2，由R1+2R2=3R3，得+2=3故选：C【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题17（5分）（2008天津）已知函数，则不等式f（x）x2的解集是（）A1，1B2，2C2，1D1，2
20、【考点】一元二次不等式的解法【分析】已知分段函数f（x）求不等式f（x）x2的解集，要分类讨论：当x0时；当x0时，分别代入不等式f（x）x2，从而求出其解集【解答】解：当x0时；f（x）=x+2，f（x）x2，x+2x2，x2x20，解得，1x2，1x0；当x0时；f（x）=x+2，x+2x2，解得，2x1，0x1，综上知不等式f（x）x2的解集是：1x1，故选A【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目18（5分）（2016秋浦东新区期中）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该
21、直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：y=x；y=2x1；y=lg（x1）；y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A1B2C3D4【考点】函数的图象【专题】应用题；函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】利用图象的变换规律，结合初等函数的图象特点，即可得到结论【解答】解：对于：y=x，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于y=2x+1是由y=2x的图象向上平移1个单位得到，其渐近线方程为y=1；对于y=log2（x1）是由y=log2x向右平移一个单位得到，其渐近线方程为x=1；对于y=（1），其渐近线方程为x=，y=；综上，有渐近线的个数为3个故选：C【点评】本题考查新
22、定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（共5小题，满分70分）19（14分）（2016秋浦东新区期中）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何【分析】如图所示，设PAB为轴截面，过点A作ADPB，利用圆的周长公式AB=10，解得AB=10，可得PAB是等边三角形，即可得出【解答】解：如图所示，设PAB为轴截面，过点A作ADPB，AB=10，解得AB=10，PAB是等边三角形，AD=ABsin60=10=5它的最高点到桌面的距离
23、为5cm【点评】本题考查了圆锥的轴截面的性质、圆的弧长与周长计算公式、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题20（14分）（2016秋浦东新区期中）已知全集U=R，集合A=x|4x92x+80，B=x|，C=x|x2|4，求AB，CUAC【考点】交、并、补集的混合运算；指数型复合函数的性质及应用；其他不等式的解法【专题】计算题【分析】由12x8，得A=（0，3）由，得B=（2，3由|x2|42x6，得C=（2，6）由此能求出AB，CuAC【解答】解：由12x8，得A=（0，3）（2分）由，得B=（2，3（4分）由|x2|42x6，得C=（2，6）（6分）所以AB=
24、（2，3，（8分）CUAC=（2，03，6）（12分）【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答21（14分）（2015长宁区一模）如图：三棱锥PABC中，PA底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为若M是BC的中点，求：（1）三棱锥PABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）欲求三棱锥PABC的体积，只需求出底面积和高即可，因为底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面积可用来计算，其中a是正三角形的边长，又因为PA底面ABC，所
25、以三棱锥的高就是PA长，再代入三棱锥的体积公式即可（2）欲求异面直线所成角，只需平移两条异面直线中的一条，是它们成为相交直线即可，由M为BC中点，可借助三角形的中位线平行于第三边的性质，做出ABC的中位线，就可平移BC，把异面直线所成角转化为平面角，再放入PMN中，求出角即可【解答】解：（1）因为PA底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以 因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MNAC所以PMN为异面直线PM与AC所成的角 计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为【点评】本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力解题关键再与找平行线，本题主要通过三角
26、形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧22（14分）（2016秋浦东新区期中）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1x10），每小时可获得利润是100（5x+1）元（1）写出生产该产品t（t0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围【考点】函数模型的选择与应用【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）设生产该产品t（t0）小时可获得利润为f（t），可得f（t）=100t（5x+1）元（2）由题意可得：1002（5x+1）3000，解出即可得出【解答】解
27、：（1）设生产该产品t（t0）小时可获得利润为f（t），则f（t）=100t（5x+1）元，t0，1x10（2）由题意可得：1002（5x+1）3000，化为：5x214x30，1x10解得3x10x的取值范围是3，5【点评】本题考查了函数的应用、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23（14分）（2016秋浦东新区期中）已知函数f（x）=|x+|x|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格： 性质定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，nR）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围【考
28、点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）利用分段函数求出f（x）的表达式，然后作出函数f（x）的图象，（2）结合函数的图象判断相应的性质，（3）根据图象利用换元法将条件进行转化，利用数形结合即可得到结论【解答】解：函数f（x）=|x+|x|=，作出函数f（x）的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为x|x0，函数的值域为（0，2，在（，1和（0，1）上单调递增，在1，+）和（1，0），单调递减，函数关于y轴对称，是偶函数，函数与x轴没有交点，无零点（3）0f（x）2，且函数f（x）为偶函数，令t=f（x），则方程等价为t2+mt+n=0，则由图象可知，当0t2时，方程t=f（x）有4个不同的根，当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，当t0或t2时，方程t=f（x）有0个不同的根，若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，nR）恰有6个不同的实数解，等价为方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，nR）恰有6个不同的实数解，即t2+mt+n=0有两个不同的根，其中t1=2，0t22，则n=t1t2（0，4）【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用条件求出函数f（x）的表达式，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大