1、专题大模拟(四)(专题一八)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分共60分)1(2015云南复习检测)已知集合Sx|3xa0，如果1S，那么a的值为()A3B1C1 D3【解析】由1S得3a0，即a3.【答案】A2(2015福建厦门模拟)在复平面上，复数zabi(a，bR)与复数i(i2)关于实轴对称，则ab的值为()A1 B3C3 D2【解析】i(i2)i22i12i.a1，b2，ab1.故选A.【答案】A3(2015山西考前检测)给定下列三个命题：p1：函数yaxax(a0，且a1)在R上为增函数；p2：a，bR，a2abb20；p3：coscos成
2、立的一个充分不必要条件是2k(kZ)则下列命题中的真命题为()Ap1p2 Bp2p3C綈p2p3 Dp1綈p3【解析】对于p1：令yf(x)，当a时，f(0)()0()00，f(1)()1()1，所以p1为假命题；对于p2：a2abb2(ab)2b20，所以p2为假命题；对于p3：因为由coscos，可得2k(kZ)，所以p3是真命题，所以綈p2p3为真命题故选C.【答案】C4(2015广东广州综合测试)若函数f(x)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A(2，2) B(，2)(2，)C(，2)2，) D2，2【解析】依题意x2ax10对xR恒成立，a240，2a2.故选D.【答案】D
3、5(2015江西南昌一模)已知实数x，y满足若目标函数z2xy的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为()A4 B3C2 D【解析】表示的可行域如图中阴影部分所示将直线l0：2xy0向上平移至过点A，B时，z2xy分别取得最小值与最大值由，得A(m1，m)，由，得B(4m，m)，所以zmin2(m1)m3m2，zmax2(4m)m8m，所以zmaxzmin8m(3m2)2，解得m2.【答案】C6(2015吉林长春二模)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果
4、是()A.6 B10C91 D92【解析】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.【答案】B7(2015辽宁沈阳一模)在ABC中，已知|，AB2，AC1，E，F为边BC的三等分点，则()A. B.C. D.【解析】因为|，所以222222，即有0，因为E，F为边BC的三等分点，则()()()()()()22(14)0.故选B.【答案】B8(2015四川高考)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围
5、是()A(1，3) B(1，4)C(2，3) D(2，4)【解析】当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，x1x2，则有2，即y0k2，由CMAB得，k1，y0k5x0，25x0，x03，即M必在直线x3上，将x3代入y24x，得y212，2y02，因为点M在圆上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44，4r216，2r4.故选D.【答案】D9(2015新课标高考)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()【解析】当点
6、P沿着边BC运动，即0x时，在RtPOB中，|PB|OB|tanPOBtan x，在RtPAB中，|PA|，则f(x)|PA|PB|tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x时，由上得ftan1，又当点P与边CD的中点重合，即x时，PAO与PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f|PA|PB|2，知ff，故又可排除D.综上，选B.【答案】B10(2015安徽高考)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f
7、(0)f(2) Df(2)f(0)0，min，故f(x)Asin(2x)于是f(0)A，f(2)Asin(4)，f(2)AsinAsin，又44，其中f(2)AsinAsinAsin，f(2)AsinAsinAsin.又f(x)在单调递增，f(2)f(2)f(0)，故选A.【答案】A11(2015陕西高考)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.【解析】由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足yx的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P.【答案】D12(2015山东高考)设函数f(x)则满足
8、f(f(a)2f(a)的a取值范围是()A. B0，1C. D1, )【解析】当a2时，f(a)f(2)2241，f(f(a)2f(a)，a2满足题意，排除A，B选项；当a时，f(a)f311，f(f(a)2f(a)，a满足题意，排除D选项，故答案为C.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分共50分)13(理)(2015广东高考)的展开式中x5的系数是_(用数字填写答案)【解析】的展开式的第r1项为Tr1C(x3)7rCx214r，令214r5，得r4，T5Cx535x5.【答案】35(文)(2014河北衡水二模)若正数x，y满足2xy30，则的最小值为_【解析】13.(当且仅
9、当xy时取等号)【答案】314(2015湖南高考)设F是双曲线C：1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_【解析】不妨设F(c，0)，则由条件知P(c，2b)，代入1得5，e.【答案】15(2015东北三校联考)若三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直且长都相等，其外接球半径为2，则三棱锥的表面积为_【解析】由三棱锥的外接球半径为2，可知3PA2(2R)2，所以PA，从而三棱锥的表面积为3()28.【答案】816已知下列三个命题：若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；直线xy10
10、与圆x2y2相切其中真命题的序号是_【解析】对于命题，设球的半径为R，则()3R3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题，圆x2y2的圆心(0，0)到直线xy10的距离d，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确【答案】三、解答题(本大题共6小题，满分共70分)17(12分)(2015昆明三校联考)已知等比数列an的前n项和是Sn，S18S978.(1)求证：S3，S9，S6依次成等差数列；(2)a7与a10的等差中项是否是数列an中的项？如果是，是an中的第几
11、项？如果不是，请说明理由【解】(1)证明：设等比数列an的公比为q，若q1，则S1818a1，S99a1，S18S92178，q1.S18(1q18)，S9(1q9)，S18S91q9.1q9，解得q3，即q2.S3，S6，S9(1q9).S9S3，S6S9，S9S3S6S9.S3，S9，S6依次成等差数列(2)a7与a10的等差中项等于，设a7与a10的等差中项是数列an中的第n项，则a1(2)n1，化简得(2)(2)4，即4，解得n13.a7与a10的等差中项是数列an中的第13项18(12分)(文)(2015北京高考)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的
12、情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买. 商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解】(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的
13、概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大(12分)(理)(2015云南昆明、玉溪统考)云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名高中男生的身高服从正态分布N(170.5，16)现从云南省某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组157.5，162.5)，第2组162.5，167.
14、5)，第6组182.5，187.5)，如图是按上述分组方式得到的频率分布直方图(1)试评估该校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；(3)从这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为X，求X的数学期望参考数据：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.9544，P(3X3)0.9974.【解】(1)由频率分布直方图知，该校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.118
15、50.1171.5(cm)，该校高三年级男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值170.5(cm)(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数和为0.25010，即这50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10.(3)P(170.534X170.534)0.997 4，P(X182.5)0.001 3，又0.001 3100 000130.身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排进全省前130名因为该校这50名男生中身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的有5人，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的有10人，随
16、机变量X可取0，1，2，于是P(X0)，P(X1)，P(X2).E(X)0121.19(12分)(文)(2015广东佛山一中期中考试)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BCA90，APAC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC平面ADE.(1)求证：DE平面PAC；(2)当二面角ADEP为直二面角时，求ABCED与PAED的体积比【解】(1)证明：BC平面ADE，BC平面PBC，平面PBC平面ADEDE，BCED，PA底面ABC，BC底面ABC，PABC，又BCA90，ACBC，PA与AC是平面PAC内的两条相交直线，BC平面PAC，又BCED，DE平面PAC.(2)由(1)知，DE平
17、面PAC，AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角，AEP90，即AEPC，APAC，E是PC的中点，ED是PBC的中位线，AEDE，又PCDEE，AE平面PCD，3.(12分)(理)(2015辽宁鞍山二模)如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)求二面角DACE的余弦值；(3)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由【解】(1)证明：PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，
18、ADCDD，PA平面ABCD.(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E(0，)，(1，1，0)，(0，)设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n(1，1，2)平面ACD的法向量为，则(0，0.1)cosn，.二面角DACE的余弦值为.(3)假设存在点F，使得BF平面AEC.则，(01)(xF，yF，zF1)(1，1，1)，F(，1)，(1，1)BF平面AEC，n0，(1)2(1)0，.F为PC的中点20(12分)(文)(2015河北衡水中学二模)已知函数f(x)(x
19、)ex，aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a1时，求证：f(x)在(0，)上为增函数；(3)若f(x)在区间(0，1)上有且只有一个极值点，求a的取值范围【解】函数f(x)的定义域为x|x0，f(x)ex.(1)当a0时，f(x)xex，f(x)(x1)ex，所以f(1)e，f(1)2e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是ye2e(x1)，即2exye0.(2)证明：当a1时，f(x)ex(x0)设g(x)x3x2x1，则g(x)3x22x1(3x1)(x1)令g(x)(3x1)(x1)0，得x.令g(x)(3x1)(x1)0，得0x
20、.所以函数g(x)在(0，)上是减函数，在(，)上是增函数，所以函数g(x)在x处取得最小值，且g()0.所以g(x)在(0，)上恒大于零于是，当x(0，)时，f(x)ex0恒成立所以当a1时，函数f(x)在(0，)上为增函数(3)f(x)ex.设h(x)x3x2axa，则h(x)3x22xa.当a0时，h(x)0在(0，)上恒成立，即函数h(x)在(0，)上为增函数而h(0)a0，h(1)20.则函数h(x)在区间(0，1)上有且只有一个零点x0，即h(x0)0，即f(x0)0，且在(0，x0)上，f(x)0，在(x0，1)上，f(x)0.故x0为函数f(x)在区间(0，1)上唯一的极小值点
21、当a0时，h(x)3x22x0，x(0，1)恒成立，则函数h(x)在区间(0，1)上为增函数，此时h(0)0，所以函数h(x)0在区间(0，1)上恒成立，即f(x)0.故函数f(x)在区间(0，1)上为单调递增函数所以f(x)在区间(0，1)上无极值当a0时，h(x)x3x2axax3x2a(x1)，总有h(x)0，x(0，1)成立，即f(x)0成立故函数f(x)在区间(0，1)上为单调递增函数所以f(x)在区间(0，1)上无极值，综上所述a的取值范围是(0，)(12分)(理)(2015甘肃兰州模拟)设函数f(x)x2mln(x1)(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
22、(2)若m1，试比较当x(0，)时，f(x)与x3的大小；(3)证明：对任意的正整数n，不等式e0e14e29e(1n)n2成立【解】(1)f(x)2x，又函数f(x)的定义域上是单调函数，f(x)0或f(x)0在(1，)上恒成立，若f(x)0在(1，)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递增函数，则m2x22x2(x)2在(1，)上恒成立，由此可得m；若f(x)0在(1，)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调递减函数，则m2x22x2(x)2在(1，)上恒成立y2(x)2在(1，)上没有最小值，不存在实数m使f(x)0在(1，)上恒成立综上所述，实数m的取值范围是，)(2)当m1时，
23、函数f(x)x2ln(x1)令g(x)f(x)x3x3x2ln(x1)，则g(x)3x22x，显然，当x(0，)时，g(x)0，函数g(x)在(0，)上单调递减，又g(0)0，当x(0，)时，恒有g(x)g(0)0，即f(x)x30恒成立故当x(0，)时，f(x)x3.(3)证明：解法一由(2)可知x2x3ln(x1)(x(0，)，e(1x)x2x1(x(0，)，e(1n)n2n1(nN*)，e0e14e29e(1n)n2234(n1).解法二设Sn，则anSnSn1n1(n2)，a1S12，ann1，nN*，欲证e0e14e29e(1n)n2，只需证e(1n)n2n1，只需证(1n)n2ln
24、(n1)，由(2)知x2x3ln(x1)(x(0，)，即(1n)n2ln(n1)，原命题成立解法三数学归纳法当n1时，左边e01，右边2，原不等式成立设当nk时，原不等式成立，即e0e14e29e(1k)k2，则当nk1时，左边e0e14e29e(1k)k2e(1k1)(k1)2ek(k1)2，只需证明ek(k1)2，即证ek(k1)2k2，即证k(k1)2ln(k2)，由(2)知x2x3ln(x1)(x(0，)，即x2(1x)ln(x1)，令xk1，即有k(k1)2ln(k2)当nk1时不等式成立由知，原不等式成立21(12分)(2015山东德州一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离
25、心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由【解】(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，又，a2b2c2，a4，c2，椭圆C的标准方程为1.(2)为定值理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，直线PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，直线PA的方程为yk(x2)，联立消去y，得(14k2)x28k(2
26、k)x4(2k)2160，x12，同理可得x22，x1x2，x1x2，kAB，即直线AB的斜率为定值.请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22(10分)选修41：几何证明选讲(2015河北唐山二模)如图，圆周角BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F. (1)证明：BCDE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且ACBC，求BAC.【解】(1)证明：因为EDCDAC，DACDAB，DABDCB，所以EDCDCB，所以BCDE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以CFACED，由(1)知ACFCED，所以CFAACF
27、.设DACDABx，因为ACBC，所以CBABAC2x，所以CFAFBAFAB3x，在等腰ACF中，CFAACFCAF7x，则x，所以BAC2x.23(10分)选修44：坐标系与参数方程(2015辽宁大连双基测试)已知曲线C：y21，直线l：(t为参数)(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【解】(1)y2x，sincos2，直线l的极坐标方程为sin()1，曲线C的参数方程为(为参数)(2)曲线C上的点P(2cos，sin)到直线l：xy20的距
28、离d.则|PA|sin()2|，其中tan2.当sin()1时，|PA|max2；当sin()时，|PA|min0.24(10分)选修45：不等式选讲(2015豫东、豫北十所名校联考)已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1，1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1，求证：abc1.【解】(1)因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0等价于|x|k，由|x|k有解，得k0，且其解集为x|kxk，因为f(x3)0的解集为1，1，所以k1.(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c是正实数，所以a2b3c(a2b3c)()33()()()32229，当且仅当a2b3c时取等号，所以abc1.