1、2021年上海市松江区高三高考数学二模试卷一、填空题（共12小题）.1已知集合Ax|x1|1，B1，2，3，则AB 2若复数z满足z（1+i）2（i为虚数单位），则z 3已知向量（4，2），（k，2），若，则实数k 4在（x+2）6的二项展开式中，x3项的系数为 （结果用数值表示）5如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1C1B1D1F，若x+y+z，则x+y+z 6若函数f（x）的反函数的图象经过点（2，1），则a 7已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为 8因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点
2、进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为 9已知函数ytan（x+）的图象关于点（，0）对称，且|1，则实数的值为 10如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内（含边界），则的取值范围是 11已知曲线C：xy2（1x2），若对于曲线C上的任意一点P（x，y），都有（x+y+c1）（x+y+c2）0，则|c1c2|的最小值为 12在数列an中，a13，an+11+a1a2a3an，记Tn为数列的前n项和，则Tn 二、选择题（共4题，每题5分，共20分）13经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（）A2xy10B2x+y30Cx2y+10Dx+2
3、y3014设、表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l，则l是的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件15已知实数a、b满足（a+2）（b+1）8，有结论：存在a0，b0，使得ab取到最大值；存在a0，b0，使得a+b取到最小值；正确的判断是（）A成立，成立B不成立，不成立C成立，不成立D不成立，成立16已知函数f（x）+|2xa|，若存在相异的实数x1，x2（，0），使得f（x1）f（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，）C（，+）D（，+）三、解答题（共5题，76分）17如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB、CD是底面圆的两条直径，且AB
4、CD，SO4，OB2，P为SB的中点（1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点S到平面PCD的距离18已知函数f（x）2x+a2x（a为常数，aR）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）当f（x）为偶函数时，若方程f（2x）kf（x）3在x0，1上有实根，求实数k的取值范围19为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQOA（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；（精确到米）（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的
5、成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本（精确到元）20（16分）已知抛物线y24x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点（1）若直线l的方程为yx1，求线段AB的长；（2）若直线l经过点P（1，0），点A关于x轴的对称点为A，求证：A、F、B三点共线；（3）若直线l经过点M（8，4），抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由21（18分）对于至少有三项的实数列an，若对任意的n（nN*，n3），都存在s、t（
6、其中st，s，tN*，sn，tn），使得anasat成立，则称数列an具有性质P（1）分别判断数列1，2，3，4和数列1，0，1，2是否具有性质P，请说明理由；（2）已知数列an是公差为d（d0）的等差数列，若bnsinan，且数列an和bn都具有性质P，求公差d的最小值；（3）已知数列cn|na|b（其中ab，a，bN*），试探求数列cn具有性质P的充要条件参考答案一、填空题（共12小题）.1已知集合Ax|x1|1，B1，2，3，则AB1解：集合Ax|x1|1x|1x11x|0x2，B1，2，3，AB1故答案为：12若复数z满足z（1+i）2（i为虚数单位），则z1i解：因为z（1+i）2，
7、所以故答案为：1i3已知向量（4，2），（k，2），若，则实数k1解：（4，2），（k，2），且，解得k1故答案为：14在（x+2）6的二项展开式中，x3项的系数为160（结果用数值表示）解：展开式中含x3的项为C208x3160x3，所以x3项的系数为160，故答案为：1605如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1C1B1D1F，若x+y+z，则x+y+z2解：因为，又x+y+z，所以，则x+y+z2故答案为：26若函数f（x）的反函数的图象经过点（2，1），则a3解：根据反函数的定义可知，函数f（x）的反函数的图象经过点（2，1），则函数f（x）经过点（1，2），所以，解得
8、a3故答案为：37已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为：4解：设下正方体的棱长为a，圆柱的底面半径为r，由圆柱和正方体的侧面积公式可知，圆柱侧面积2ra，正方体的侧面积4a2，它们的侧面积相等，2ra4a2，r；正方体与圆柱的体积比是：4故答案为：48因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为解：某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，基本事件总数n84，选派的三人中至少有1名女医生包含的基本事件总数m74，选派的三
9、人中至少有1名女医生的概率P故答案为：9已知函数ytan（x+）的图象关于点（，0）对称，且|1，则实数的值为或1解：函数ytan（x+）的图象关于点（，0）对称，且|1，+k，kZ，或+k+，kZ则令k0，可得实数或1，故答案为： 或110如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内（含边界），则的取值范围是解：如图，取AB的中点O，由已知得，则，故如图，以O为圆心，OT（T为边AB的对边NM的中点）为半径作圆，由正六边形的性质可知，该圆与边NM相切于点T，且故P点为M或N点时，PO最大，且此时OT2所以OPmax，当P与O重合时，PO0最小故故答案为：11已知曲线C：xy2
10、（1x2），若对于曲线C上的任意一点P（x，y），都有（x+y+c1）（x+y+c2）0，则|c1c2|的最小值为32解：xy2（1x2），y，（1x2），则x+yx+，设f（x）x+，则f（x）在（1，上递减，则，2）上递增，则当x时，f（x）最小为f（x）2，当x1时，f（x）1+23，当x2时，f（x）2+13，即f（x）的最大值为3，则2f（x）3，不妨设c1c2，则由（x+y+c1）（x+y+c2）0得x+y+c10，且x+y+c20，即c1（x+y）f（x），且c2xyf（x），2f（x）3，3f（x）2，则c13，c22，则|c1c2|的最小值为|3（2）|32，故答案为：321
11、2在数列an中，a13，an+11+a1a2a3an，记Tn为数列的前n项和，则Tn解：an+11+a1a2a3an，可得an1+a1a2a3an1，（n2），又an+11a1a2a3an，an1+a1a2a3an1，两式相除可得an，即an+11an（an1），则，即有，n2，所以Tn+，由a11，an+11+a1a2a3an，可得an1，且an为递增数列，当n+时，an+，则0，即有0，所以Tn（）故答案为：二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（）A2xy10B2x+y30Cx2y+10Dx+2y30解：由于直线的方向向量为
12、（1，2），故直线的斜率为2，故直线的方程为 y12（x1），即 2xy10，故选：A14设、表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l，则l是的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件解：由l，l，反之不成立，可能或与相交l是的必要不充分条件，故选：B15已知实数a、b满足（a+2）（b+1）8，有结论：存在a0，b0，使得ab取到最大值；存在a0，b0，使得a+b取到最小值；正确的判断是（）A成立，成立B不成立，不成立C成立，不成立D不成立，成立解：因为（a+2）（b+1）8，所以 ab6（a+2b），a0，b0，a+2b（a+2）+（2b+2）4244，当且22
13、b时取等号，所以6ab4，解得ab2，即ab取到最大值2；正确；a0，b0，当a+20时，a+ba+1a+2+34，当且仅当a+2时取等号，此时a2不符合a0，不满足题意；当a+20时，a+ba+1a+2+3（a+2）3，此时取得最大值，没有最小值，错误故选：C16已知函数f（x）+|2xa|，若存在相异的实数x1，x2（，0），使得f（x1）f（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A（，）B（，）C（，+）D（，+）解：函数f（x）+|2xa|，当a0，x0时，f（x）2x，f（x）20，f（x）在（，0）递减，不成立，舍去；当a0，x0时，则f（x）2x+a，f（x）20，f（x）在（，0
14、）递减，不成立，舍去；当a0，x0时，f（x），当x时，f（x）20，f（x）在（，0）递减；当x0时，f（x）2，由f（x）0，可得x，当a，即时，x，0），则f（x）0恒成立，当a，即时，x，0），则f（x）在（，）单调递增，在（，0）单调递减则对于任意x0（，），f（x0）f（），则满足题意存在相异的实数x1，x2（，0），使得f（x1）f（x2）成立，此时a，故选：B三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1876分）17如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB、CD是底面圆的两条直径，且ABCD，SO4，OB2，P为SB的中点（1）求异面直线SA与PD所成角的大小（结
15、果用反三角函数值表示）；（2）求点S到平面PCD的距离解：（1）连接PO，则POSA，所以DPO为异面直线SA与PD所成角，因为CDAB，CDSO，又ABSOO，所以CD平面SOB，又PO平面SOB，所以CDPO，在RtDOP中，ODOB2，OPSA，tanDPO，所以异面直线SA与PD所成角大小为arctan（2）以O为原点，OA，OD，OS为x，y，z轴，如图所示：所以O（0，0，0），D（0，2，0），P（1，0，2），S（0，0，4），（1，0，2），（0，2，0），（1，2，2），设平面PCD的法向量为（x，y，z），因为，即，令z1，x2，y0，所以（2，0，1），（2，0，1）（
16、1，0，2）4，所以点S到平面PCD的距离d18已知函数f（x）2x+a2x（a为常数，aR）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）当f（x）为偶函数时，若方程f（2x）kf（x）3在x0，1上有实根，求实数k的取值范围解：（1）函数f（x）2x+a2x的定义域为xR，又f（x）2x+a2x当f（x）f（x）时，即2x+a2x2x+a2x时，可得a1即当a1时，函数f（x）为偶函数；当f（x）f（x）时，即2x+a2x（2x+a2x）2xa2x时，可得a1即当a1时，函数f（x）为奇函数（2）由（1）可得，当函数f（x）为偶函数时，a1，即f（x）2x+2x时，f（2x）22x+22x（2x+
17、2x）22由题可得，（2x+2x）22k（2x+2x）3（2x+2x）2k（2x+2x）50令t2x+2x，则有t2kt50tx0，1又，当且仅当x0时，等号成立根据对勾函数的性质可知，即k2+20k28k+16k2+20k210k+25此时k的取值不存在；k2+20k28k+16k2+20k210k+25此时，可得k的取值为综上可得19为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQOA（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；（精确到米）（2）已
18、知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区OPQ的面积尽可能的大，求OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本（精确到元）解：（1）扇形的半径为100米1百米，当Q时OB的中点时，OQ，PQO，OP1，在OPQ中，由余弦定理可得，解得PQ1.15，所以Q是OB的中点时，PQ的长约为115米；（2）在OPQ中，由正弦定理可得，所以，所以OPQ的面积为，故当，即时，OPQ的面积最大为（百米2），当时，PQOP1，故扇形AOP的面积为（百米2）m2，扇形AOB的面积为S大（百米2），所以区域BQP的面积为S2S大SS1（m2
19、），因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，所以此时扇形区域AOB种植花卉的总成本为30+50+20（）531403元20（16分）已知抛物线y24x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点（1）若直线l的方程为yx1，求线段AB的长；（2）若直线l经过点P（1，0），点A关于x轴的对称点为A，求证：A、F、B三点共线；（3）若直线l经过点M（8，4），抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得x26x+10，所以x1+x26，
20、因为抛物线的方程为y24x，所以抛物线的焦点F（1，0），又直线l：yx1过抛物线的焦点F（1，0），所以由抛物线的定义可得|AB|AF|+|BF|x1+x2+P6+28（2）证明：设直线l的方程为yk（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得k2x2+（2k24）x+k20，所以x1x21，即x2，直线AF的斜率为kAF，直线BF的斜率为kBF，所以kAFkBF，所以A、F、B三点共线（3）假设存在点N（，y0）使以弦AB为直径的圆恒过点N，设过点M（8，4）直线l的方程为xm（y+4）+8，联立，得y24my16m320，设A（，y1），B（，y2），则y1+y24m，y1y
21、216m32，因为点N总在以弦AB为直径的圆上，所以ANB90，所以0，又（，y1y0），（，y2y0），所以（）（）+（y1y0）（y2y0）0，所以（y1y0）（y2y0）+10，当y1y0或y2y0，等式成立，当y10或y2y0，有（y1+y0）（y2+y0）16，所以y1y2+y0（y1+y2）+y02+160，则y024my016m160，即4m（y04）+（y04）（y0+4）0，所以当y04时，无论m取何值等式都成立，将y04代入y24x，得x04，所以存在点N（4，4）使得以弦AB为直径的圆恒过点N21（18分）对于至少有三项的实数列an，若对任意的n（nN*，n3），都存在s
22、、t（其中st，s，tN*，sn，tn），使得anasat成立，则称数列an具有性质P（1）分别判断数列1，2，3，4和数列1，0，1，2是否具有性质P，请说明理由；（2）已知数列an是公差为d（d0）的等差数列，若bnsinan，且数列an和bn都具有性质P，求公差d的最小值；（3）已知数列cn|na|b（其中ab，a，bN*），试探求数列cn具有性质P的充要条件解：（1）数列1，2，3，4不具有性质P，理由如下：当n4时，an4，不存在s、t（其中st，s，tN*，sn，tn），使得anasat成立，所以数列1，2，3，4不具有性质P，数列1，0，1，2具有性质P，理由如下：若an1，as0，at1，则满足anasat，若an2，as1，at1，则满足anasat，所以数列1，0，1，2具有性质P（2）an的公差为d，bnsinan，bsbtsin（asat），要使d最小，sinassinatsin（asat）sinascosatcosatsinat，at2t，as2s，又d2，dmin2（3）数列cn|na|b且具有性质P，cncsct，|na|b|sa|b（|ta|b），b|na|sa|+|ta|（充分性成立），又由b|na|sa|+|ta|可得|na|b|sa|b（|ta|b），即cncsct（必要性成立），数列cn具有性质P的充要条件是b|na|sa|+|ta|
