1、专题4 数列、推理与证明第2讲 推理与证明 (B卷)一、选择题（每题5分，共20分）1（2015肇庆市高中毕业班第三次统一检测题8）对于非空集合A、B，定义运算： 已知，其中a、b、c、d满足，则（）ABCD2（2015佛山市普通高中高三教学质量检测（二）8）若集合P具有以下性质： ； 若，则，且时，则称集合P是“集”，则下列结论不正确的是（ ）A整数集Z是“集”B有理数集Q是“集”C对任意的一个“集”P，若，则必有D对任意的一个“集”P，若，且，则必有3（2015厦门市高三适应性考试10）如图所示，由直线及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.类比之，,恒成立,则实数等
2、于（） A.B. C.D.4.（2015陕西省咸阳市高考模拟考试（三）12）二、非选择题（80分）5. (2015济宁市5月高考模拟考试15)6(2015日照市高三校际联合5月检测15)函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定（为线段AB的长度）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2，则；存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；设点A,B是抛物线上不同的两点，则；设曲线（e是自然对数的底数）上不同两点，若恒成立，则实数t的取值范围是其中真命题的序号为_（将所有真命题的序号都填上）7(2015黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三
3、次模拟考试数学（理）试题16)设为正整数，计算得，观察上述结果，按照上面规律，可以推测 8（2015山东省济宁市兖州第一中学高三数学考试15）在平面上有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数满足，且”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：9（2015合肥市高三第三次教学质量检测15）已知向量满足,动点满足,给出以下命题: 若,则点的轨迹是直线; 若,则点的轨迹是矩形;若,则点的轨迹是抛物线; 若,则点的轨迹是直线;若,则点的轨迹是圆 以上命题正确的是 （写出你认为正确的所有命题的序号）10(2015丰台区学期统一练习二14
4、）已知非空集合，满足以下四个条件：；中的元素个数不是中的元素；中的元素个数不是中的元素（）如果集合中只有1个元素，那么_；（）有序集合对（，）的个数是_11.(2015北京市东城区综合练习二14）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”给出下列四个命题： 若，则“距离坐标”为的点有且仅有个 若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个若，则“距离坐标”为的点有且仅有个若，则点的轨迹是一条过点的直线其中所有正确命题的序号为 12.(2015.21) (本小题满分10分)已知函数 （1）当时，求证： ；（2）当时，恒成立，求实数的值
5、13. (2015.山东省实验中学高三第三次诊断考试.20) (本小题满分12分)定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的.如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点.椭圆的长轴长是4，椭圆短轴长是，点分别是椭圆的左焦点与右焦点.（I）求椭圆的方程；（II）过的直线交椭圆于点M，N，求面积的最大值.14.(2015 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟23) (本小题满分10分)设且对于二项式（1）当时，分别将该二项式表示为的形式；（2）求证：存在使得等式与同时成立.15(2015盐城市高三年级第三次模拟考试20)（本小题满分13分）设函数（其中），且存在无穷数列，
6、使得函数在其定义域内还可以表示为（1）求（用表示）；（2）当时，令，设数列的前项和为，求证：；（3）若数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式专题4 数列、推理与证明第2讲 推理与证明 (B卷)答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题综合考查了新定义、不等式的性质、集合的子集与交集并集的转换【解析】由已知M=x|axb，ab，又ab0，a0b，同理可得c0d，由abcd0，c0，b0，又a+b=c+d，a-c=d-b，又c0，b0，d-b0，因此，a-c0，ac0db，MN=N，MN=x|axc，或dxb=（a，cd，b）故选D2.【答案】A【命题立意】本题旨在考查信息给予题的做法【解析】当x
7、2时，所以整数集Z不是“集”故B项错误故选：B3.【答案】C【命题立意】本题旨在考查类比推理和微积分基本定理.【解析】由题可得，.故选：C4.【答案】 C.【命题立意】 新定义的理解与应用【解析】由题中所给定的关于的定义可知将分成，代入k的取值即可判断出结果,故选C.5.【答案】【命题立意】本题是一个小综合题，主要考查含有逻辑连接词的命题真假判断，函数的零点，直线和圆的位置关系及数学归纳法【解析】对于，由于p，q都是真命题，故正确；对于，由于函数是单调的，且，所以命题正确；对于，由于圆心到直线的距离，又因为，故圆上的点到直线的距离为1的点为4个，故命题错误；对于，由所给出的等式可知命题正确.6
8、.【答案】 【命题立意】本题旨在考查新定义问题、距离公式和恒成立问题【解析】错：对：如；对；错；，因为恒成立，故7.【答案】6【命题立意】考查归纳推理，考查分析能力，转化能力，中等题【解析】由已知等式得，所以8.【答案】为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足且【命题立意】本题重点考查类比推理以及空间向量基本定理，难度中等.【解析】将直线类比为平面，将“存在实数满足，且”类比为“存在实数满足且”，所以给出空间中四点共面定理，可描述为“为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足且”.9.【答案】【命题立意】本题重点考查平面向量的坐标运算以及点的轨迹问题，难度较大【解析】因为
9、，所以，建立如图所示的直角坐标系，不妨设，则，因为，所以，得，得，当时，得，得，故正确，若，即，因为时，此时，即，此时根据对称性可知，其轨迹为矩形，故正确，若，则，整理得表示双曲线，故错误，若，由于，所以其不能表示直线只能表示两条射线，故错误，当时，所以，整理得表示圆，故正确10.【答案】；32 【命题立意】考查子集、真子集概念，考查分类讨论思想，中等题【解析】（）依题意，当时，满足条件；（）如果集合中只有1个元素，有序集合对（，）的个数是1对；如果集合中只有2个元素，中必含有元素5，有中取法，有序集合对（，）的个数是5对；如果集合中只有3个元素，中必含有元素4，有中取法，有序集合对（，）的个
10、数是10对；如果集合中只有4个元素，中必含有元素3，有中取法，有序集合对（，）的个数是10对；如果集合中只有5个元素，中必含有元素2，有中取法，有序集合对（，）的个数是5对；如果集合中只有6个元素，中必含有元素1，有中取法，有序集合对（，）的个数是1对；所以满足条件的有序集合对（，）的个数是个11.【答案】【命题立意】本题重点考查新定义和逻辑推理能力，难度中等【解析】正确，此点为点； 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点；若，则点的
11、轨迹是两条过点的角分线，故错误12.【答案】（1）证明略；（2）.【命题立意】本题旨在考查证明不等式以及恒成立的问题.【思路分析】（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.【解析】（1）， -1分-3分递增，所以，所以-4分（2）当不等式，因为若，所以，-7分若，存在，使得 当，所以，这与矛盾-9分当不等式，若，所以，所以不
12、等式成立-12分若，存在，使得 当，所以，这与矛盾综上所述：，恒成立时 ，-14分 13.【答案】(I) 椭圆的方程为，椭圆的方程为（II）【命题立意】本题考查了对新定义的概念的理解，椭圆的标准方程、几何性质，直线与椭圆的位置关系及运算能力.【解析】（）设椭圆的半焦距为，椭圆2的半焦距为由题意知，椭圆与椭圆的离心率相等，即，则椭圆的方程为，椭圆的方程为.（）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，联立，得，设，则，又的高即为点到直线的距离，的面积，当且仅当，即时，等号成立.，即的面积的最大值为.14.【答案】（1）当n=3时，当n=4时，（）4；（2）略【命题立意】本题旨在考查二项式定理及其
13、应用，考查分类讨论思维【解析】（1）当n=3时， 2分当n=4时， 4分（2）证明：由二项式定理得，若为奇数，则 ，分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为的形式，其中，也即，其中，6分若为偶数，则 类似地，可将上式表示为的形式，其中，也即，其中，. 所以存在，使得等式 8分同理可得可表示为，从而有，综上可知结论成立 10分15.【答案】（1）；（2）略；（3）【命题立意】本题旨在考查函数及其应用，数列的递推关系式，数列求和，等差数列的通项及其应用，考查分析法、反证法等【解析】（1）由题意，得，显然的系数为0，所以，从而，4分（2）由，考虑的系数，则有，得，即， 所以数列单调递增，且，所以，当时，10分（3）由（2），因数列是等差数列，所以，所以对一切都成立，若，则，与矛盾，若数列是等比数列，又据题意是等差数列，则是常数列，这与数列的公差不为零矛盾，所以，即，由（1）知，所以16分（其他方法：根据题意可以用、表示出，由数列为等差数列，利用，解方程组也可求得）解法2：由（1）可知，因为数列是等差数列，设公差为，又由（2），所以得，若即时，与条件公差不为零相矛盾，因此则由,可得,整理可得代入,或若,则，与矛盾，若,则,满足题意, 所以