1、第四章检测(B)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点 A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为()A.(-3,4,-10)B.(-3,2,-4)C(-)解析:由中点坐标公式得 A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)对称的点为(-3,4,-10).答案:A2.若方程 x2+y2-4x+4y+10-k=0 表示圆,则 k 的取值范围是()A.k2C.k2D.k2解析:若方程表示圆,则(-4)2+42-4(10-k)0,解得 k2.答案:B3.圆心为(1,1)
2、,且与直线 x+y=4 相切的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:根据题意得 r -故圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),定点到圆心的距离 d=1 即定点在圆的内部,所以直线 y=kx+1与圆相交但直线不过圆心.答案:C5.若圆 C1:(x-a)2+y2=12与圆 C2:x2+
3、y2=4 相切,则 a 的值为()A.3B.1C.1 或3D.1 或 3解析:圆 C1的圆心坐标为(a,0),半径为 1,圆 C2的圆心坐标为(0,0),半径为 2.当两圆外切时,|a|=3,则a=3.当两圆内切时,|a|=1,则 a=1.答案:C6.已知半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2+(y-3)2=1 内切,则此圆的方程是()A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6 或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36 或(x-4)2+(y-6)2=36解析:由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-
4、6)2=36.由两圆内切,得 所以a2=16,所以 a=4,故所求圆的方程是(x+4)2+(y-6)2=36 或(x-4)2+(y-6)2=36.答案:D7.已知一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆 C:(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.或 或 C.或 或 解析:圆(x+3)2+(y-2)2=1 的圆心为 C(-3,2),半径 r=1.如图,作出点 A(-2,-3)关于 y 轴的对称点 B(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点 B.设反射光线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y-(-3)=k(x-2),即 kx-y
5、-2k-3=0.由反射光线与圆相切可得 -即|5k+5|整理得12k2+25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得 k=或k=答案:D8.过点 A(3,1)和圆(x-2)2+y2=1 相切的直线方程是()A.y=1B.x=3C.x=3 或 y=1D.不确定解析:由题意知,点 A 在圆外,故过点 A 的切线应有两条.当所求直线的斜率存在时,设其为 k,则直线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0.因为直线与圆相切,所以 d -解得k=0,所以切线方程为y=1.当所求直线的斜率不存在时,x=3 也符合条件.综上所述,所求切线方程为 x=3 或 y=1.答案:C9.已知
6、圆 C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点 P 在圆 C2:x2+y2-4x-12=0 上,则PC1C2面积的最大值为()A.解析:圆 C1:x2+y2+4x-4y-3=0,即(x+2)2+(y-2)2=11,圆心为 C1(-2,2),半径为 圆 C2:x2+y2-4x-12=0,即(x-2)2+y2=16,圆心为 C2(2,0),半径为 4,则|C1C2|故PC1C2的面积最大值为 故选B.答案:B10.若两圆 C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心距|C1C2|等于()A.4B.解析:由题意知两圆的圆心在直线 y=x 上.设 C1(a,a),C2(b,b),可得(a
7、-4)2+(a-1)2=a2,(b-4)2+(b-1)2=b2,即a,b 是方程 x2-10 x+17=0 的两根,a+b=10,ab=17,|C1C2|-答案:C二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.如图,在空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,若|B1E|A1B1 则点 的坐标为 答案:()12.已知点 M 是圆 x2+y2=1 上的任意一点,点 N 是圆(x-3)2+(y-4)2=4 上的任意一点,则|MN|的最小值为 .解析:由已知可得两圆圆心分别为(0,0),(3,4),半径分别为 1,2,所以圆心距为
8、 51+2.所以两圆外离,所以当 M,N 在圆心连线上时,|MN|取最小值,且最小值为 5-3=2.答案:213.已知点 A(1,2,-1),点 C 与点 A 关于平面 xOy 对称,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,则|BC|的值为 .解析:由已知可求得点 C 的坐标为(1,2,1),点 B 的坐标为(1,-2,1),所以|BC|-答案:414.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P,Q 两点,且POQ=120(其中 O 为原点),则 k 的值为 .解析:由题意知点 O 到直线 y=kx+1 的距离为 所以 答案:15.若O:x2+y2=5 与O1:(x-m)2+y2=20
9、(mR)相交于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是 .解析:由题意知点 A 处的切线分别过两圆的圆心,所以 OAO1A.所以 m2=解得m=5.由等面积法得|AB|=2 答案:4三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分)已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点为 P,Q,求以 PQ 为直径的圆的方程.解:设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则点 P,Q 的坐标满足方程组 -解方程组,得 或 -即点 P(1,1),Q(-3,3),所以线段 PQ 的中点坐标为(
10、-1,2),|PQ|-故以 PQ 为直径的圆的方程是(x+1)2+(y-2)2=5.17.(8 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4my+4m2=0,圆 C1:x2+y2=25,直线 l:3x-4y-15=0.(1)求圆 C1:x2+y2=25 被直线 l 截得的弦长;(2)当 m 为何值时,圆 C 与圆 C1的公共弦平行于直线 l?解:(1)因为圆 C1:x2+y2=25 的圆心为 O(0,0),半径 r=5,所以圆心 O 到直线 l:3x-4y-15=0 的距离d -由勾股定理可知,圆 C1:x2+y2=25 被直线 l 截得的弦长为 -(2)圆 C 与圆 C1的公共弦的方程为 2x-4m
11、y-4m2-25=0.因为该公共弦平行于直线 3x-4y-15=0,则 -解得m 18.(9 分)已知实数 x,y 满足 x2+y2+4x+3=0,求:(1 -的最大值与最小值(2)(x-3)2+(y-4)2的最大值与最小值.解:圆 x2+y2+4x+3=0 的标准方程为(x+2)2+y2=1,记为圆 C,则圆心 C(-2,0),半径 r=1.(1)如图,设点 M(x,y)在圆 C 上,Q(1,2),k -即kx-y-k+2=0.由图可知,当直线 QM 与圆 C 相切时,k 取得最大值或最小值.由 C(-2,0)到直线 kx-y-k+2=0 的距离为 1,得 -解得k 所以 -的最大值为 最小
12、值为 -图图(2)如图,令 A(3,4),则(x-3)2+(y-4)2表示圆上的点与点 A 距离的平方.设直线 AC 与圆交于 P,Q 两点,则(x-3)2+(y-4)2的最大值为|AQ|2,最小值为|AP|2.|AQ|=|AC|+r -所以(x-3)2+(y-4)2的最大值为 最小值为 19.(10 分)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0,O 为坐标原点,动点 P 在圆 C 外,过 P 作圆 C 的切线 l,设切点为M.(1)若点 P 运动到(1,3)处,求此时切线 l 的方程;(2)求满足条件|PM|=|PO|的点 P 的轨迹方程.解:把圆 C 的方程化成标准方程(x+1)2+(y
13、-2)2=4,所以圆心为 C(-1,2),半径 r=2.(1)当 l 的斜率不存在时,此时 l 的方程为 x=1,点 C 到 l 的距离 d=2=r,满足条件.当 l 的斜率存在时,设斜率为 k,则 l 的方程为 y-3=k(x-1),即 kx-y+3-k=0,则 -解得k=所以 l 的方程为 y-3=即 3x+4y-15=0.综上,满足条件的切线 l 的方程为 x=1 或 3x+4y-15=0.(2)设 P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得
14、2x-4y+1=0.故点 P 的轨迹方程为 2x-4y+1=0.20.(10 分)已知圆 C 经过点 M(0,-2),N(3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上.(1)求圆 C 的方程;(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,是否存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,-则有 -故圆 C 的方程为 x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数 a 存在,由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 C(3,-2)必在 l 上,所以 l 的斜率 kPC=-2,kAB=a=所以 a 把直线 ax-y+1=0,即 y=ax+1 代入圆 C 的方程,消去 y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线 ax-y-1=0 交圆 C 于 A,B 两点,故=36(a-1)2-36(a2+1)0,即-72a0,解得 a0.则实数 a 的取值范围是(-,0).由于 (-,0),故不存在实数 a,使得过点 P(2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB.