1、2016年河南省商丘市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知全集U=1，2，3，4，5，集合M=1，2，3，N=3，4，5，则集合1，2可以表示为（）AMNB（UM）NCM（UN）D（UM）（UN）2设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2i，则z1=（）A4+3iB43iC34iD3+4i3设向量，是两个互相垂直的单位向量，且=2， =，则|+2|=（）A2BC2D44下列判断错误的是（）A命题“若am2bm2，则ab”是假命题B命题“xR，x3x210”的否定是“x0R，10”C“若a=1，则直线x+y=0和直线xay=0互相垂直”
2、的逆否命题为真命题D命题“pq为真命题”是命题“pq为真”的充分不必要条件5在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a7，则k=（）A22B23C24D256已知抛物线y2=8x与双曲线y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A5x3y=0B3x5y=0C4x5y=0D5x4y=07某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布N，已知p（80100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A5份B10份C15份D20份8如图，网格纸上小正方形
3、的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A8BC12D169函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最大值为（）ABCD10见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A51B49C47D4511已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆=1（ab0）的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若L，则椭圆离心率e的取值范围是（）ABCD12已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A（e，+）B（0，e）CD二、填空题（共4小题，每小题5分，
4、满分20分）13设x，y满足约束条件，则z=x+2y3的最大值为14数列an满足：a3=，anan+1=2anan+1，则数列anan+1前10项的和为15若（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为16三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为16，则三棱柱ABCA1B1C1的最大体积为三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2a2=bc，（）求角A的大小；（）设函数f（x）
5、=sinx+2cos2，a=2，f（B）=+1时，求边长b18某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”（）在五年级一班男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（）若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望19在四棱锥P
6、ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点（）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为AB的中点，棱PC上是否存在一点M，使得FMAC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由20动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设（）求点M的轨迹E的方程；（）设点S（4，4），过N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB的斜率分别为k1，k2，求|k1k2|的最小值21已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，
7、2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：选修4-1；几何证明选讲22已知四边形ABCD为O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M过点B作O的切线交DC的延长线于点P（1）求证：ABMD=ADBM；（2）若CPMD=CBBM，求证：AB=BC选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，），（）求直线AB的直角坐标方程；（）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值选修4-5：不等式选讲24设f（x）=|x1|2|x+1|的最大值为m（）求m；（
8、）若a，b，c（0，+），求ab+bc的最大值2016年河南省商丘市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知全集U=1，2，3，4，5，集合M=1，2，3，N=3，4，5，则集合1，2可以表示为（）AMNB（UM）NCM（UN）D（UM）（UN）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由题意作Venn图，从而结合图象确定集合的运算【解答】解：由题意作Venn图如下，结合图象可知，集合1，2=M（UN），故选C2设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2i，则z1=（）A4+3iB43iC34iD3+4i【考点】复数代数形式的
9、乘除运算【分析】复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2i，可得：z2=2i，再利用复数的运算法则即可得出【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2i，z2=2i，=2+i，则z1=（2i）（2+i）=3+4i，故选：D3设向量，是两个互相垂直的单位向量，且=2， =，则|+2|=（）A2BC2D4【考点】向量的模【分析】根据向量的运算法则计算即可【解答】解：向量，是两个互相垂直的单位向量，|=1，|=1， =0，=2， =，+2|=2+，|+2|2=4+4+=5，|+2|=，故选：B4下列判断错误的是（）A命题“若am2bm2，则ab”是假命题B命题
10、“xR，x3x210”的否定是“x0R，10”C“若a=1，则直线x+y=0和直线xay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D命题“pq为真命题”是命题“pq为真”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】A中考查m=0特殊情况；B对任意命题的否定：把任意改为存在，再否定结论C根据原命题和逆否命题为等价命题；Dpq为真命题，可知p，q至少有一个为真，pq可真可假【解答】解：A命题“若am2bm2，当m=0时，a可以大于b，故ab是假命题，故正确；B对任意命题的否定：把任意改为存在，再否定结论命题“xR，x3x210”的否定是“x0R，10”故正确；C根据原命题和逆否命题为等价命题，“若a
11、=1，则直线x+y=0和直线xay=0互相垂直”为证命题，故其逆否命题也为真命题，故正确；Dpq为真命题，可知p，q至少有一个为真，但推不出pq为真，故错误故选D5在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a7，则k=（）A22B23C24D25【考点】等差数列的性质【分析】根据等差数列的性质，我们可将ak=a1+a2+a3+a7，转化为ak=7a4，又由首项a1=0，公差d0，我们易得ak=7a4=21d，进而求出k值【解答】解：数列an为等差数列且首项a1=0，公差d0，又ak=（k1）d=a1+a2+a3+a7=7a4=21d故k=22故选A6已知抛物线y2=8
12、x与双曲线y2=1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|=5，则该双曲线的渐近线方程为（）A5x3y=0B3x5y=0C4x5y=0D5x4y=0【考点】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），则由抛物线的定义可得m=3，进而得到M的坐标，代入双曲线的方程，可得a，再由渐近线方程即可得到所求【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x=2，设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5，解得m=3，由n2=24，可得n=2将M（3，）代入双曲线y2=1，可得24=1，解得a=，即有双曲线的渐近线方程为y=x即为5x3y=0故选A7某地
13、市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布N，已知p（80100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A5份B10份C15份D20份【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】由题意结合正态分布曲线可得120分以上的概率，乘以100可得【解答】解：数学成绩服从正态分布N，P（80100）=0.35，P（80120）=20.35=0.70，P（120）=（10.70）=0.15，1000.15=15，故选：C8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是
14、（）A8BC12D16【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可【解答】解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥ABCD中，BD=4，AC=AB=，AD=6，SABC=44=8SADC=4，SDBC=44=8，在三角形ABC中，作CEE，连结DE，则CE=，DE=，SABD=12故选：C9函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在0，上的最大值为（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析
15、式【分析】由函数图象变换以及诱导公式和偶函数可得值，可得函数解析式，由三角函数区间的最值可得【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位后得到y=sin2（x）+）=sin（2x+）的图象，图象关于y轴对称，由诱导公式和偶函数可得=k+，解得=k+，kZ，由|，可得当k=1时，=，故f（x）=sin（2x），由x0，可得：2x，当2x=，即x=时，函数f（x）在0，上取最大值sin（2）=，故选：B10见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A51B49C47D45【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值
16、，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A11已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆=1（ab0）的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截
17、得的弦长为L，若L，则椭圆离心率e的取值范围是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由垂径定理，结合算出直线l到圆x2+y2=4的圆心的距离d满足d2，结合点到直线的距离公式建立关于k的不等式，算出k2由直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，可得c=，从而得到a2=4+，利用离心率的公式建立e关于k的关系式，即可求出椭圆离心率e的取值范围【解答】解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，由垂径定理，得2，即，解之得d2，解之得k2直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，b=2且c=，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2=
18、k2，0，可得e（0，故选：B12已知函数f（x）=xsinx+cosx+x2，则不等式的解集为（）A（e，+）B（0，e）CD【考点】其他不等式的解法【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式，转化为f（lnx）f（1）即为f|lnx|）f（1），则|lnx|1，运用对数函数的单调性，即可得到解集【解答】解：函数f（x）=xsinx+cosx+x2的导数为：f（x）=sinx+xcosxsinx+2x=x（2+cosx），则x0时，f（x）0，f（x）递增，且f（x）=xsinx+cos（x）+（x）2=f（x），则为偶函数，即有f（x）=f（|x|），则不等式，即
19、为f（lnx）f（1）即为f|lnx|）f（1），则|lnx|1，即1lnx1，解得，xe故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设x，y满足约束条件，则z=x+2y3的最大值为5【考点】简单线性规划【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由图易得：当x=4，y=2时z=x+2y3的最大值为5，故答案为：514数列an满足：a3=，anan+1=2anan+1，则数列anan+1前10项的和为【考点】数列递推式；数列的求和【分析】把已知数列递推式变形，得到数列是以2为公差的等差
20、数列，求出等差数列的通项公式，代入anan+1，然后利用裂项相消法求和【解答】解：由anan+1=2anan+1，得，即，数列是以2为公差的等差数列，有，则，则anan+1=，数列anan+1前10项的和为=故答案为：15若（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a，则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为【考点】二项式定理的应用；定积分【分析】依据二项式系数和为3n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项a的值，再利用积分求直线y=x与曲线y=x2围成的封闭图形的面积【解答】解：（x+）n的展开式中各项的系数之和为81，3n=81，解得n=4，（x+）4的展开
21、式的通项公式为：Tr+1=C4r2rx42r，令42r=0，解得r=2，展开式中常数项为a=C4222=24；直线y=4x与曲线y=x2所围成的封闭区域面积为：S=（4xx2）dx=（2x2x3）=故答案为：16三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为16，则三棱柱ABCA1B1C1的最大体积为4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据球体体积计算球的半径，得出底面直角三角形的斜边长，从而得出底面直角边a，b的关系，利用基本不等式求得ab的最大值，代入棱柱的体积得出体积的最大值【解答】解：设
22、三棱柱底面直角三角形的直角边为a，b则棱柱的高h=，设外接球的半径为r，则4r2=16，解得r=2，正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，h=2r=4h=2，a2+b2=h2=82ab，ab4三棱柱的体积V=Sh=ab4故答案为4三、解答题（共5小题，满分60分）17在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2a2=bc，（）求角A的大小；（）设函数f（x）=sinx+2cos2，a=2，f（B）=+1时，求边长b【考点】余弦定理【分析】（）由已知及余弦定理可得cosA=，结合范围0A，即可解得A的值（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+）+1
23、，由sin（B+）+1=，解得B的值，利用正弦定理即可求b的值【解答】（本题满分为12分）解：（）在ABC中，因为b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=，0A，A= （）f（x）=sinx+2cos2=sinx+cosx+1=sin（x+）+1，f（B）=sin（B+）+1=，B=，即： =，b= 18某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”；女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，
24、成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”（）在五年级一班男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（）若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率为P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率（）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（）
25、设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率为P，则P=P（A）+P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而P（A）=，P（B）=，所以P=（）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2则P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，（每项1分） 因此，X的分布列如下：X012PE（X）=+2=（人）（未化简不扣分）19在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点（）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为AB的中点，棱PC上是否存在一点M，使得FMAC，若存在，
26、求出的值，若不存在，说明理由【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【分析】（I）以A为原点建系，设AB=2，求出和平面PBD的法向量，则所求的线面角的最小值等于|cos|；（II）设=，求出和的坐标，令解出即可得出的值【解答】解：（）以点A为原点建立如图的空间直角坐标系，不妨设AB=AP=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）=（0，1，1），=（2，2，0），=（2，0，2），设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，得=（1，1，1）cos=，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为（）C（2，2，0），F
27、（1，0，0），=（2，2，2），=（2，2，0），=（1，2，0）设=（2，2，2）（01），=（12，22，2），FMAC，2（12）+2（22）=0，解得=，20动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设（）求点M的轨迹E的方程；（）设点S（4，4），过N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB的斜率分别为k1，k2，求|k1k2|的最小值【考点】抛物线的简单性质【分析】（I）设M的坐标，根据中点坐标公式，将P点坐标代入整理可求得M的轨迹方程；（II）直线l过点N，设l的方程为：y=k（x4）+5，与E联立，整理得：x24kx+16k20=0，根据韦
28、达定理，分类讨论l是否经过点S，并分别求得直线的斜率，即可求|k1k2|的最小值【解答】解：（I）设点M（x，y），P（x0，y0），则由，得，因为点P在抛物线x2=2y上，所以，x2=4y（II）由已知，直线l的斜率一定存在，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，得，x24kx+16k20=0，由韦达定理，得当直线l经过点S即x1=4或x2=4时，当x1=4时，直线SA的斜率看作抛物线在点A处的切线斜率，则 k1=2，此时；同理，当点B与点S重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线l不经过点S即x14且x24时，=，=，故，所以|k1k2|的最小值为121已知函数f（x）=alnx
29、ax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不
30、是单调函数可知：，于是可求m的范围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解【解答】解：（）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（）令a=
31、1此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，n2，nN*，则有0lnnn1，选修4-1；几何证明选讲22已知四边形ABCD为O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M过点B作O的切线交DC的延长线于点P（1）求证：ABMD=ADBM；（2）若CPMD=CBBM，求证：AB=BC【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明PBC=BCA，利用PBC=BAC，证明BAC
32、=BCA，即可得出结论【解答】证明：（1）由BC=CD可知，BAC=DAC，由角分线定理可知， =，即ABMD=ADBM得证（2）由CPMD=CBBM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PBAC所以PBC=BCA又因为PBC=BAC所以BAC=BCA所以AB=BC选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，），（）求直线AB的直角坐标方程；（）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）由x=cos，y=sin，可得A，B的直
33、角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值【解答】解：（） 将A、B化为直角坐标为A（2cos，2sin）、，即A、B的直角坐标分别为A（2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为（）设M（2cos，sin），它到直线AB距离=，（其中）当sin（+）=1时，d取得最大值，可得选修4-5：不等式选讲24设f（x）=|x1|2|x+1|的最大值为m（）求m；（）若a，b，c（0，+），求ab+bc的最大值【考点】绝对值三角不等式【分析】（）根据绝对值的意义化简f（x），画出f（x）的图象，由图象求出f（x）的最大值；（）化简等式，利用基本不等式即可求出ab+bc的最大值为【解答】解：（）f（x）=|x1|2|x+1=；画出f（x）的图象如图所示，函数f（x）的最大值为m=2；（），2m=a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）2（ab+bc），ab+bc2，ab+bc的最大值为22016年8月10日
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