1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评三十六等比数列及其前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,是等比数列,则实数a满足的条件是()A.a|a1B.a|a0或a1C.a|a0D.a|a0且a1【解析】选D.由等比数列定义可知a0且1-a0,即a0且a1.2.已知数列an的首项a1=2,数列bn为等比数列,且bn=,若b10b11=2,则a21=()A.29B.210C.211D.212【解析】选C.由
2、bn=,且a1=2,得b1=,a2=2b1;b2=,a3=a2b2=2b1b2;b3=,a4=a3b3=2b1b2b3;an=2b1b2b3bn-1,所以a21=2b1b2b3b20,又bn为等比数列,所以a21=2(b1b20)(b2b19)(b10b11)=2(b10b11)10=211.3.(2020丽水模拟)设等比数列an的前n项和为Sn,下列结论一定成立的是()A.a1+a32a2B.a1+a32a2C.a1S30D.a1S30【解析】选C.选项A,数列-1,1,-1为等比数列,但a1+a3=-22a2=-2,故B错误;选项D,数列1,-1,1为等比数列,但a1S3=10,故D错误;
3、对于选项C,a1(a1+a2+a3)=a1(a1+a1q+a1q2)=(1+q+q2),因为等比数列的项不为0,故0,而1+q+q2=+0,故(1+q+q2)0,即a1S30.【变式备选】 已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于()A.B.或C. D.以上都不对【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设acd0,其前n项和为Sn,且S5=62,a4,a5的等差中项为3a3.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=,求数列bn的前n项和Tn.世纪金榜导学号【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以
4、a1q3+a1q4=6a1q2,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以S5=31a1=62,a1=2,所以an=22n-1=2n.(2)因为bn=,所以Tn=b1+b2+bn=-.(20分钟40分)1.(5分)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还
5、粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是()A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=C.a,b,c成公比为的等比数列,且a=D.a,b,c成公比为的等比数列,且c=【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为的等比数列,b=a,c=b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=.【变式备选】 已知等比数列an的公比q=2,前100项和为S100=90,则其偶数项a2+a4+a100为()A.15B.30C.45D.60【解析】选D.S100=a1+a2+a100=90,设S=a1+a3+a99,则2S=a2+a4+a100,所以S
6、+2S=90,S=30,故a2+a4+a100=2S=60.2.(5分)在等比数列an中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则=()A.2B.2C.1D.-2【解析】选A.由题知,a3+a15=60,a3a15=80,则a30,a150,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=a9=2.设等比数列an的公比为q,则a9=a3q60,故a9=2,故=2.3.(5分)(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=_.【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,解得q=-,所以S4=.答案:【变式备
7、选】 设an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若Sn是等差数列,则q为_.【解析】若q=1,则Sn=na1,所以Sn是等差数列;若q1,则当Sn是等差数列时,一定有2S2=S1+S3,所以2=a1+,即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,所以q=0或q=1,而q0,q1,所以此时不成立.综上可知,q=1.答案:14.(12分)已知正项数列an满足a1+a2+a3+an=.世纪金榜导学号(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=2nan,求数列bn的前n项和Tn.【解题指南】(1)式中令n=1,求得a1=1,n用n-1代,得a1+a2+a3+an-1=,两式作差化简可得an-an
8、-1=2,进而可求得an.(2)由(1)可得bn=2n,由错位相减法可求和.【解析】(1)设数列an的前n项和为Sn.当n=1时, a1=,所以a1=1,当n2时,4Sn=,所以4Sn-1=,两式相减得4an=+2an-2an-1,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又an0,所以an-an-1=2,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列,即an=2n-1.(2)因为bn=(2n-1)2n,所以Tn=121+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,-得-Tn=2+2(22+23+2n)-(2n-1)2n+1=2-
9、8+2n+2-(2n-1)2n+1=-6+2n+1(2-2n+1)=-6+2n+1(3-2n),所以Tn=6+2n+1(2n-3).5.(13分)已知数列an的前n项和为Sn,且an=(nN*).(1)若数列an+t是等比数列,求t的值.(2)求数列an的通项公式.世纪金榜导学号【解析】(1)当n=1时,由a1=得a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.依题意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,an+1=2(an-1+1),n2,即an+1为等比数列成立,故实数t的值为1.(2)由(
10、1)知当n2时,an+1=2(an-1+1),又因为a1+1=2,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=22n-1=2n,所以an=2n-1.【变式备选】 已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)证明:Sn+(nN*).【解析】(1)设等比数列an的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以2S3=4S4-2S2,即S3=2S4-S2,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=-.又a1=,所以等比数列an的通项公式为an=(-1)n-1.(2)由(1)知,Sn=1-
11、,Sn+=1-+=当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,所以Sn+S1+=.当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,所以Sn+S2+=.故对于nN*,有Sn+.1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()世纪金榜导学号A.fB.fC.fD.f【解析】选D.这13个单音构成了一个以f为首项,为公比的等比数列,所以an=a1qn-1=f()n-1,即a8=f.2.(2
12、020郑州模拟)设首项为1的数列an的前n项和为Sn,且an=若Sm2 020,则正整数m的最小值为()世纪金榜导学号A.15B.16C.17D.18【解析】选C.由题意知a2k=a2k-1+1,a2k+1=2a2k+1,所以a2k+1=2(a2k-1+1)+1=2a2k-1+3,即a2k+1+3=2(a2k-1+3).又a1+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,所以a2k-1=42k-1-3,a2k=42k-1-2,所以S奇=a1+a3+a2k-1=-3k=2k+2-4-3k,S偶=a2+a4+a2k=2k+2-4-2k,所以S2k=S奇+S偶=2k+3-8-5k.当k=8时,S16=2 0002 020,故正整数m的最小值为17.关闭Word文档返回原板块- 14 - 版权所有高考资源网
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