1、练案79理练案69文第二讲不等式的证明与柯西不等式1(2021吉林长春模拟)已知a0，b0，ab4.(1)求证：2；(2)求证：.解析(1)证明：因为a0，b0，ab4，2(a2b2)(ab)216，a2b28，从而2(当且仅当ab2时取等号)(2)因为ab4，所以a2b6，所以(32)，当且仅当(a2)b时取等号2(2021河南质检)已知正实数a，b，c满足abbcacabc.(1)证明：abc9；(2)证明：1.证明(1)因为abbcacabc，所以1，所以abc(abc)332229.当且仅当abc时取等号，所以abc9.(2)1111，当且仅当abc时取等号，即1.3(2021河南开封
2、模拟)已知x、y为正实数，且满足xy1.(1)若xym恒成立，求m的最小值；(2)证明：22.解析(1)x0，y0，xy1xy2xym恒成立，m，故m的最小值为.(2)(xy)24，22.(当且仅当xy时取等号)22.4(2021四川资阳诊断)已知不等式|x2|x3|3的解集为M.(1)求M；(2)若b、cM，证明：|4bc|4cb|.解析 (1)由数轴易知当x1或4时|x2|x3|3，|x2|x3|3的解集为(1,4)即M(1,4)另解：当x2时，2x53，得1x2；当2x3时，13成立，得2x3；当x3时，2x53，得3x4.原不等式的解集为(1,4)，即M(1,4)(2)要证明|4bc|
3、4cb|，即证明(4bc)2(4cb)2，即b2c216b216c20，即证明(b216)(c21)0，由于b、cM，b2160，则有(b216)(c21)0，|4bc|11的解集；(2)若函数f(x)的最小值为2，证明：9.解析(1)当a2，b6，c1时，不等式f(x)|2x2|2x6|111，化简得：|x1|x3|5，采用零点讨论法，记g(x)|x1|x3|，则g(x)|x1|x3|由g(x)5，解得：x，所以，不等式f(x)11的解集为(2)因为f(x)|2xa|2xb|c|ab|cabc，函数f(x)的最小值为2，abc2.证法一：根据柯西不等式可得：(ab)(bc)(ac)2369，
4、当且仅当：，即a，b0，c时等式成立综上，9.证法二：(ab)(bc)(ac)(144612)9，当且仅当a，b0，c等式成立综上，9.6(2021四川遂宁诊断)已知函数f(x)2|x1|x1|m.(1)当m2时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)的最小值为M，且abMm4(a，bR)，求2a23b2的最小值解析(1)当m2时，f(x)又f(x)3.则有或或解得x1或1x4.即x4.所以不等式f(x)3的解集为x|x4(2)因为f(x)在x1处取得最小值m2.所以Mm2，则abMm42.由柯西不等式(2a23b2)2(ab)24，所以2a23b2，当且仅当2a3b，即a，b时，等号成立
5、故2a23b2的最小值为.另解：由ab2得2a23b22a23(2a)25a212a1252，当a时2a23b2取得最小值.7(2020湖北重点高中联考协作体期中)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|4x6(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值解析(1)由|xa|b知baxba，所以即.(2)依题意知：2，当且仅当，即t时等号成立，所以所求式子的最大值为2.8(2020四川省宜宾市三诊)已知a，b，cR，且a2b2c21.(1)求a2bc的最大值；(2)若a2bc1，证明：c1.解析解法一：(1)(a2bc)2a24b2c24ab2ac4bc(a24b2c2)(4a2b2)(a2c2)(b24c2)6(a2b2c2)6，当且仅当2ab2c，即ac，b时等号成立，所以a2bc的最大值为.解法二：a2b2c21，由柯西不等式得(a2bc)2(a2b2c2)(122212)6，a2bc，即a2bc的最大值为.(2)证明：因为a2b2c21，a2bc1，所以a2b21c2，a2b1c，(a2b2)(122)(a2b)2，当且仅当2ab时等号成立，则有5(1c2)(1c)2，即3c2c20，故c1.
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