1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第8节 直线与圆锥曲线的位置关系第七章 平面解析几何考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定与应用，达成直观想象和数学运算的素养2.根据直线与圆锥曲线的位置求参数，增强逻辑推理和数学运算的素养3.弦长问题与中点弦问题的研究，提升逻辑推理和数学运算的素养直线与圆锥曲线的位置关系一直是高考的热点，考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称性等问题题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度不
2、小，属中高档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关 直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去 y，整理得到关于 x 的方程 ax2bxc0.方程 ax2bxc0 的解l 与 C1 的交点b0无解(含 l 是双曲线的渐近线)无公共点 a0b0有一解(含 l 与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点 考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关0两个 不等 的解 两个交点 0两个相等的解 一个切点 a0b0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)
3、(1)斜率：kb2x0a2y0.(2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值b2a2考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)直线与双曲线有且只有一个公共点，则判别式 0.()(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点()(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点()(4)直线 ykx1 与椭圆x25y291 恒有两个公共点()(5)直线与椭圆有且只有一个公共点，则其判别式 0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)考点层级突破第七章基础自主夯实课时分
4、组冲关小题查验1直线 ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为()A相交 B相切C相离D不确定解析：A 直线 ykxk1k(x1)1 恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关2“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点故选 A.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关3若直线 ykx 与双曲线x29y241
5、 相交，则 k 的取值范围是()A.0，23 B.23，0C.23，23 D.，23 23，解析：C 双曲线x29y241 的渐近线方程为 y23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得 k23，23.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关4(人教 A 版教材 P80A 组 T8 改编)已知与向量 v(1,0)平行的直线 l 与双曲线x24 y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为 _.解析：由题意可设直线 l的方程为 ym，代入x24y21 得 x24(1m2)，所以 x141m221m2，x221m2，所以|A B|x1x2|41m24，即当 m 0 时，|A B|有最小值 4.
6、答案：4考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关5椭圆x22y21 的弦被点12，12 平分，则这条弦所在的直线方程是 _.解析：设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21，y1y21.A，B 在椭圆上，x212y211，x222y221.两式相减得x1x2x1x22(y1y2)(y1y2)0，即y1y2x1x2 x1x22y1y212，即直线 AB 的斜率为12.直线 AB 的方程为 y1212x12，即 2x4y30.答案：2x4y30考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关考点一 直线与圆锥曲线的位置关系(自主练透)题组集训1若过点(0,1)作直线，使它与抛
7、物线 y24x 仅有一个公共点，则这样的直线有()A1 条 B2 条 C3 条 D4 条解析：C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线x0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)，故选 C.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关2双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左，右两支都相交的充要条件是()AkbaBkbaCkba或 kbaDbakba解析：D 由双曲线渐近线的几何意义知bakba.故选 D.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲
8、关3若直线 mxny4 和圆 O：x2y24 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数为()A至多一个B2 C1D0解析：B 直线 mxny4 和圆 O：x2y24 没有交点，4m2n22，m2n24.m29 n24 m29 4m241 536m21，点(m，n)在椭圆x29y241 的内部，过点(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点有 2 个，故选 B.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的
9、个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数提醒：直线与双曲线相交时要注意交点的位置限制参数的范围考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关考点二 根据直线与圆锥曲线的位置求参数(师生共研)典例(1)若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是()A.153，153 B.0，153C.153，0D.153，1考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：D 由ykx2，x2y26，得(1k2)x24kx100，14k2016k241k2100 x1x2 4k1k20 x1x2 10k210，直
10、线与双曲线右支有两个不同交点，解得 153 k1.故选 D.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关(2)(2019沈阳市模拟)已知直线 3xy 30 与抛物线 y24x交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，与 x 轴交于 F 点，OF OA OB，则()A.12 B12 C.13 D13考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：B 直线3xy30 过抛物线的焦点 F(1,0)，把直线方程代入抛物线的方程 y24x，解得 x3y23，或 x13y233，不妨设 A(3,23)、B13，233.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关O F O A O B，(1,0)(3，23)1
11、3，233 313，2 3233 .3131,23233 0，14，34，则12.故选 B.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关由位置关系求字母参数时，用代数法转化为方程的根或不等式解集，也可以数形结合，求出边界位置，再考虑其它情况考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练1(2018永州市三模)已知 F 为椭圆x24y231 的左焦点，A 是椭圆的短轴的上顶点，点 B 在 x 轴上，且 AFAB，A，B，F 三点确定的圆 C 恰好与直线 xmy30 相切，则 m 的值为()A3 B.3 C 3 D3考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：C 由题意可知：椭圆x24y23
12、1 的左焦点(1,0)，设 B(x,0)，由 A FA B，且 A，B，F 三点确定的圆 C，圆心 Cx12，0，半径为 rx12.在A O C 中，由|A O|2|O C|2|A C|2r2，即(3)2x122x122，解得 x3，则 C(1,0)，半径为 2，由题意可知：圆心到直线 xm y30 距离 d|1m 03|1m22，解得 m 3.故选 C.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关2已知直线 yxm 被椭圆 4x2y21 截得的弦长为2 25，则m 的值为 _.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：把直线 yxm 代入椭圆方程得 4x2(xm)21，即 5x22m x
13、m210，设该直线与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是方程 5x22m xm210 的两根，4m220(m21)16m220 0，即 m2b0)的离心率为12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时，AB4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|CD|487，求直线 AB 的方程考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关直观想象、逻辑推理、数学运算直线与椭圆位置关系综合问题中的核心素养以学习过的直线与椭圆位置关系的相关知识为基础，借助直线、椭圆等平面图形的几何性质，通过逻辑推理将已知条件代数化，并通过消元等进行一系列
14、的数学运算，从而使问题得以解决考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关信息提取信息解读直观想象、逻辑推理、数学运算椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为12ca12过椭圆右焦点 F 的弦AB斜率为 0 时，AB42a4着眼点 1：求椭圆的方程：待定系数法，通过解方程求出 a 和 b考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关过椭圆右焦点 F 的弦AB与 CD 互相垂直，当直线 AB 斜率为 0 时，|AB|4，|AB|CD|487分两种情况讨论：当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在；当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0着眼点 2：求直线AB 的方程：待定系
15、数法求出直线 AB的斜率 k，也就是利用弦长公式将|AB|CD|487 转化为关于 k 的方程考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析(1)由题意知 eca12，2a4.又 a2b2c2，解得a2，b 3，所以椭圆方程为x24y231.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|CD|7，不满足条件当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y1k(x1)考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关将直线 AB 方程代入椭圆方程中并整理，得(34
16、k2)x28k2x4k2120，则 x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，所以|AB|k21|x1x2|k21 x1x224x1x212k2134k2.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关同理，|CD|121k2134k212k213k24.所以|AB|CD|12k2134k2 12k213k2484k21234k23k24487，解得 k1，所以直线 AB 的方程为 xy10 或 xy10.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关1利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形，若 k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；2涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用考点层
17、级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练已知圆 C：x2(y1)25，直线 l：mxy2m0.(1)求证：mR，l 与圆 C 总有两个不同的交点 A，B；(2)当|AB|取最小值时，求 l 的方程与|AB|的最小值解：(1)由x2y125，mxy2m0 消去 y 并整理得，(1m2)x22m(1m)xm22m40，所以 2m(1m)24(1m2)(m22m4)16m14215160，所以mR，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A，B.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关(2)由(1)可得 kCD21101，当|AB|取最小值时，直线 l 的斜率 k1，即 m1，故此时直线 l
18、的方程为xy30，即 xy30.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设 x1x2，由xy30，x2y125，消去 y 并整理得2x24x10.解得 x11 62，x21 62，所以|AB|2|x1x2|2 3.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关考点四 中点弦问题(多维探究)命题角度 1 由中点弦确定直线方程 1已知(4,2)是直线 l 被椭圆x236y291 所截得的线段的中点，则l 的方程是_.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)则x2136y2191，且x2236y2291，两式相减得y1y2x1x2
19、x1x24y1y2.又 x1x28，y1y24，所以y1y2x1x212，故直线 l 的方程为y212(x4)，即 x2y80.答案：x2y80考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关由中点弦确定直线方程常用点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率；也可以利用根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解提醒中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差
20、法在确定范围方面略显不足考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 2 由中点弦确定曲线方程 2已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：D 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式作差并化简变形得y1y2x1x2b2x1x2a2y1y2，而y1y2x1x2013112，x1x2
21、2，y1y22，所以 a22b2，又因为 a2b2c29，于是 a218，b29.故选 D.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关由中点弦确定曲线方程，一般常用点差法，用中点坐标和斜率找到曲线方程有关参数的关系式，求解即可考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 3 由中点弦解决对称问题 3已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为 4，若抛物线 yax2 上的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yxm 对称，且 x1x212，则 m 的值为()A.32 B.52 C2 D3考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：A
22、由双曲线的定义知 2a4，得 a2，所以抛物线的方程为 y2x2.因为点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y2x2 上，所以 y12x21，y22x22，两式相减得 y1y22(x1x2)(x1x2)，不妨设 x1x2，又 A，B 关于直线 yxm 对称，所以y1y2x1x21，故 x1x212，而 x1x212，解得 x11，x212，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则 x0 x1x2214，y0y1y222x212x22254，因为中点 M在直线 yxm 上，所以5414m，解得 m 32.故选 A.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关由中
23、点弦解决对称问题，首先根据斜率之积等于1，用点差法表示出有关式子再利用中点在已知直线上，代入解的考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关命题角度 4 由中点弦解决离心率问题 4(2019郑州市一模)已知椭圆 r：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(1,0)，且离心率为12，ABC 的三个顶点都在椭圆 r 上，设ABC三条边 AB、BC、AC 的中点分别为 D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为 k1、k2、k3，且 k1、k2、k3 均不为 0.O 为坐标原点，若直线 OD、OE、OM 的斜率之和为 1.则1k11k21k3 _.考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关解析：由
24、c1，eca12，则 a2，b2a2c23，椭圆的标准方程为x24y231.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(s1，t1)，E(s2，t2)，M(s3，t3)由 A，B 在椭圆上，则 3x214y2112,3x224y2212，两式相减得到：y1y2x1x234x1x2y1y2，所以 k1y1y2x1x234x1x2y1y234s1t1，即1k14t13s1，同理1k24t23s2，1k34t33s3，所以1k11k21k343t1s1t2s2t3s3，直线 O D、O E、O M 的斜率之和为 1，则1k11k21k343.答案：43考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关由中点弦解决离心率问题，指导思想是整体代换，设而不求，设出两个相关点的坐标，利用点差法，把相关的关系式是表示出来，再根据具体题目的条件求解考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第七章基础自主夯实课时分组冲关