1、练案57理第八讲曲线与方程(理)A组基础巩固一、选择题1(2021河北“五个一名校联盟”联考)“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的(D)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若直线l与曲线C只有一个交点，直线l与曲线C不一定相切，比如当直线l与双曲线的渐近线平行时，直线l与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反之，若直线l与曲线C相切，直线l与曲线C也不一定只有一个交点2(2021百师联盟联考)方程x4y44(x2y2)所表示曲线的大致形状为(A)解析令x0，解得y2，令y0，解得x2，故排除C、D选项；易知该函数图象不是圆，排除B选项，又因为(
2、0,0)点满足条件，故选A3(此题为更换后新题)(2021山东青岛黄岛区期末)已知相距1400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点在_上(D)A圆B椭圆C抛物线D双曲线解析设炮弹爆炸点为P，则|PA|PB|10201400|AB|，点P在以A、B为焦点的双曲线上，故选D3(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2021重庆一中月考)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)A双曲线B椭圆C圆D抛物线解析连接MF，由中垂线性质知|MB|MF|，即M到定点F的距离与它到直线x
3、距离相等点M的轨迹是抛物线，D正确4(2021江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CEy轴，垂足为E，则|BE|2，|CA|2|BC|2|BE|2|CE|2，(x2)2y222x2，化为y24x，y24x为抛物线5(2021吉林长春实验中学期中)若曲线C1：x2y22x0与曲线C2：y(ymxm)0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(B)ABCD解析由题意知直线ym(xm)0与圆x2y22x0相交，即1，解得m0，y21，y1或y1，动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直
4、线7若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是(B)Axy5Bx2y29C1Dx216y解析M点的轨迹是双曲线 1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点四个选项中，只有圆x2y29与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2y29不是“好曲线”8(2021浙江台州六校期中联考)若平面上两点A(2,0)，B(1,0)，则l：yk(x1)上满足|PA|2|PB|的点P的个数为(C)A0B1C2D与实数k的取值有关解析设P(x，y)，则由题意知2，化简得x2y24x0，即
5、(x2)2y24，显然直线l过定点H(1,0)，且H在圆(x2)2y24内，直线上满足|PA|2|PB|的点P有2个，故选C9已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(A)Ax22y1Bx22yCx2yDx22y2解析把抛物线方程yx2化成标准形式x24y，可得焦点F(0,1)，设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)由中点坐标公式得，又P(x0，y0)在抛物线yx2上，2y1(2x)2，即x22y1，故选A10设A1、A2是椭圆1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点P的轨迹方程为(C)A1B1C1D1解析解
6、法一：设交点P(x，y)，A1(3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，y0)，A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，.解x0，y0，代入得1，即1，答案：C解法二：设P1、P2两点的横坐标为x3cos ，又A1(3,0)，A2(3,0)，P1(3cos，2sin )，P2(3cos ，2sin )，故直线A1P1和A2P2方程分别为y(x3)，y(x3)设交点P(x，y)，则y2(x29)，即1.11当时，方程x2sin y2cos 1表示的轨迹不可以是(B)A两条直线B圆C椭圆D双曲线解析当时，sin ，(1，)，cos ，(，)，0.方程x2sin y2cos 1可化
7、为1，表示焦点在y轴上的椭圆当时，sin 1，cos 0，方程x2sin y2cos 1化为x21，x1，表示两条直线当时，sin ，(1，)，cos ，(，)，方程x2sin y2cos 1可化为1，表示焦点在x轴上的双曲线所以曲线不可能表示圆，故选B二、填空题12已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是1(y0).解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的
8、椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)13过抛物线y24x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为_y24(x2)_解析设直线方程为yk(x1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由，得(x1，y1)(xx2，yy2)得x1x2x，y1y2y.由联立得xx1x2.yy1y2，消去参数k，得y24(x2)14已知线段PQ的长为1，若P、Q分别在椭圆y21和x轴上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是4y21.解析设M(x，y)，P(2cos ，sin )，由|PQ|1可得Q(3cos ，0)或Q(cos ，0)，()当Q(3c
9、os ，0)时，x，y，消去得x24y21，()当Q(cos ，0)时，x，y，消去得x24y21，动点P的轨迹方程为4y21.15已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3，记动点P的轨迹方程为曲线C则曲线C的方程为y21.解析设P(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，3，(x，yn)3(mx，y)(3m3x，3y)，即，.又|AB|4，m2n216.从而16y216.曲线C的方程为y21.三、解答题16(2021河北张家口、衡水、邢台联考)在平面直角坐标系xOy中，已知F(2,0)，M(2,3)，动点P满足|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点D(1
10、,0)作直线AB交C于A，B两点，若AFD的面积是BFD的面积的2倍，求|AB|.解析(1)设P(x，y)，则(x2，y3)，(2,0)，(2x，y)由|，得|x2|.化简得y28x，即动点P的轨迹C的方程为y28x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知SAFDFD|y1|，SBFDFD|y2|，因为SAFD2SBFD，所以|y1|2y2|，易知y1y20，y1y28m，y1y28，由解得m，所以|AB|y1y2|24m|6.B组能力提升1(2021上海静安区二模)方程2x29xy8y20的曲线C所满足的性质为(A)不经过第二、四象限；关于x轴对称；关于原点对称；关于直线yx对
11、称ABCD解析由题意，2x29xy8y20化为：9xy2x28y20，说明x，y同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限；正确y换y，方程发生改变，所以图形不关于x轴对称，所以不正确；以x代替x，以y代替y，方程不变，所以正确；方程2x29xy8y20，x，y互换，方程化为：8x29xy2y20，方程已经改变；所以不正确；故选A2(2021怀化调研)已知F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为(C)A1(y0)By21(y0)C3y21(y0)Dx2y21(y0)解析由题意知F1(1,0)，F2(1,0)，设P(2cos ，sin )，G
12、(x，y)，则，消去得3y21，又G、F1、F2不共线，y0.重心G的轨迹方程为3y21(y0)，故选C3ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是(C)A1B1C1(x3)D1(x4)解析如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)4已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(A)Ay21(y1)By21Cy21Dx21解析显然|AC|13，|BC|15，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|2.F的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的下支，故选A5如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是(C)A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支解析可构造如图所示的圆锥母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，故选C
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