1、第五讲数系的扩充与复数的引入知识梳理双基自测知识点一复数的有关概念(1)复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部i是虚数单位规定i21.由此可知：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i，i，全体复数所成的集合C叫复数集(2)复数相等：abicdi(a，b，c，dR)ac且bd.(3)共轭复数：若zabi(a，bR)，则_abi_.(4)复数的模：在复平面内，若点Z的坐标为(a，b)，则向量的模r叫做复数zabi的模，记作_|z|_或_|abi|_，即|z|abi|r_(r0，rR)知识点二复数的几何意义(1)复平面的概念：建立平面直角坐标系来表
2、示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做_实轴_，y轴叫做_虚轴_.(2)实轴上的点都表示_实数_；除了原点外，虚轴上的点都表示_纯虚数_.(3)复数的几何表示：复数zabi(a，bR)复平面内的点Z(a，b)向量.知识点三复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i_；减法：z1z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_(acbd)(adbc)i_；除法：；(cdi0)(2)复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律，即交换律：z1z2_z2z1_；结合律：
3、(z1z2)z3_z1(z2x3)_.1两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小2(1i)22i；i；i.3z|z|2|2.题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数z32i中，虚部为2i.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如43i33i,34i33i等()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)若aC，则|a|2a2.()题组二走进教材2(理)(选修22P116A组T2改编)(文)(选修12P106A组T2改编)若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为(B)A1B2C1或2D1解析依题意，有解得
4、a2.故选B3(理)(选修22P116B组T1改编)(文)(选修12P112A组T5改编)设i为虚数单位，若复数z满足z，则z(D)A1iB1iC1iD1i解析由题意，得z1i.4(理)(选修22P111A组T2改编)(文)(选修12P105T3改编)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(D)AEBFCGDH解析由图知复数z3i，则2i，所以复数所对应的点是H，故选D题组三走向高考5(2019全国卷)设z32i，则在复平面内对应的点位于(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析由题意，得32i，其在复平面内对应的点为(3，2)，位于第三象限，故选C6(2020课
5、标，2,5分)复数的虚部是(D)ABCD解析利用复数除法法则得，所以虚部为，选D7(2020课标，2 ,5分)若z12ii3，则|z|(C)A0B1CD2解析z12ii312ii1i，|z|1i|，故选C考点突破互动探究考点一复数的基本概念自主练透例1 (1)(2020浙江，2,4分)已知aR，若a1(a2)i(i为虚数单位)是实数，则a(C)A1B1C2D2(2)(2020江苏，2,5分)已知i是虚数单位，则复数z(1i)(2i)的实部是_3_.(3)(2021辽宁鞍山一中模拟)在复平面内，复数所对应的点位于(B)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(4)(2020课标，1,5分)若z1
6、i，则|z22z|(D)A0B1CD2解析(1)因为a1(a2)i为实数，aR，所以a20.解得a2，故选C(2)z(1i)(2i)2i2i13i，z的实部为3.(3)设z，则zi，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限故选B(4)z1i，z22z(1i)22(1i)12ii222i2，|z22z|2|2.故选D易错点(4)复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件为做题时容易忽略b0，从而造成错误考点二复数的运算多维探究角度1复数的乘法运算例2 (1)(2020课标，2,5分)(1i)4(A)A4B4C4iD4i(2)(2019北京)已知复数z2i，则z(D)ABC3D5(3)(2021长
7、春质检)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2等于(A)A5B5C4iD4i解析(1)(1i)4(1i)22(2i)24i24，故选A(2)解法一：因为z2i，所以2i，所以z(2i)(2i)42i2ii24(1)5，故选D解法二：z|z|222125，故选D(3)z22i，z1z2(2i)(2i)5，故选A角度2复数的除法运算例3 (1)(2020新高考，2,5分)(D)A1B1CiDi(2)(2017天津)已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_2_.解析(1)i.故选D(2)i为实数，则0，a2.故填2.角度3复数的综合运算例4 (1)(2020课标，
8、2,5分)若(1i)1i，则z(D)A1iB1iCiDi(2)(2020浙江期末联考)已知i是虚数单位，若复数z满足1i，则z(B)A4B5C6D8(3)(2020课标，15,5分)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2i，则|z1z2|_2_.解析(1)(1i)1i，i，zi，故选D(2)由1i，得z112i，则z|z|25，故选B(3)设复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则a2b24，c2d24，又z1z2(ac)(bd)ii，ac，bd1，则(ac)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd4，82ac2bd4，即2ac2bd4，|z1z2|2.名师点拨复数运算的技巧
9、(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式(2)记住以下结论，可提高运算速度(1i)22i；i；i；bai；简单的复数方程的解法(1)利用复数的四则运算求解即可(2)待定系数法：设zabi(a、bR)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解变式训练1(1)(角度1)(2020新高考，2,5分)(12i)(2i)(B)A5iB5iC5D5(2)(角度2)(2020天津，10,5分)i是虚数单位，复数_32i_.(3)(角度3)(2020北京，2,4分)在复平面内，复数z对应的坐标是(1,
10、2)，则iz(B)A12iB2iC12iD2i(4)(角度1)(2020安徽毛坦厂中学模拟)设复数z的共轭复数是，若复数z134i，z2ti，且z1是实数，则实数t等于_.解析(1)(12i)(2i)24ii25i，故选B(2)32i.(3)由复数的几何意义可知，z12i，所以izi(12i)2i，故选B(4)z1(34i)(ti)(3t4)(4t3)i是实数，则4t30，t.考点三复数的几何意义师生共研例5 (1)(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)则(C)A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21(2)在复平面内，复数z与
11、对应的点关于实轴对称，则复数(C)A2iB3iC2i或3iD2i或3i解析(1)解法一：z在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选C解法二：|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，x2(y1)21.故选C解法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z1i满足|zi|1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z2i满足|zi|1，但点(0,2)不在选项B的圆上，排除B故选C(2)设zabi，a，bR，i，由已知得，解得，z2i或3i，2i或3i，故选C
12、名师点拨复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1z2|表示复平面内复数z1、z2对应的两点间的距离(3)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观变式训练2(1)(2021广西柳州摸底)已知复数z在复平面内对应点是(1，2)，i为虚数单位，则(D)A1iB1iC1iD1i(2)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为(D)ABCD解析(1)由题知z12i，1i.(2)由|
13、z|1知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足yx的区域，该区域的面积为11，故满足yx的概率为.故选D名师讲坛素养提升与复数模有关问题的解法例6 (1)若复数z满足|z|1，则|z34i|的最大值为_6_.(2)若复数z1，z2满足|z1|z2|1，|z1z2|，则|z1z2|_.(3)若复数z满足|zi|zi|4，则点z的轨迹方程为_1_.分析利用复数模的几何意义求解解析(1)令zxyi(x，yR)，|z|1，x2y21，|z34i|表示圆x2y21上的点到Z(3，4)的距离，|OZ|5，|z34i|的最大值
14、为6.(2)由题意知|1，|，即|22|22，0，即，|22，|，|z1z2|.(3)|zi|zi|4表示复平面内复数z对应的点Z到(0，1)、(0,1)距离的和为4，故其轨迹是以(0，1)、(0、1)为焦点的椭圆又a2，c1，b2a2c23，故点Z的轨迹方程为1.名师点拨|z|；|z1z2|；|z1z2|.变式训练3(1)已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C，若xy，则xy_5_.(2)复数z满足|z3i|，则|z|的最大值和最小值分别是_3、_解析(1)由xy，得32ix(12i)y(1i)(xy)(2xy)i，解得故xy5.(2)由题意可知复平面内复数z对应的点在以C(3，)为圆心，以为半径的圆上，由|CO|2知，圆上的点Z到原点距离的最大值、最小值分别为3，故|z|的最大值为3，最小值为.
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