1、第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示知识梳理双基自测知识点一函数的概念及表示1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个_非空数集_设A，B是两个_非空集合_对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_任意_一个数x，在集合B中有_唯一_的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_任意_一个元素x在集合B中有_唯一_的元素y与之对应名称称对应_f：AB_为从集合A到集合B的一个函数称对应_f：AB_为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2.函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射(2)函
2、数的三要素：_定义域、值域、对应法则_.(3)函数的表示法：_解析法、图象法、列表法_.(4)两个函数只有当_定义域和对应法则_都分别相同时，这两个函数才相同知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数1映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；(2)映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性；第二，在B中对应元素的唯一性；(3)映射问题允许多对一，但不允许一对多2判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致3分段函数虽由几个部分组成，但它表
3、示的是一个函数4与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)是一个函数()(2)函数f(x)的图象与直线x1的交点只有1个()(3)已知f(x)m(xR)，则f(m3)等于m3.()(4)yln x2与y2ln x表示同一函数()(5)f(x)则f(x)()题组二走进教材2(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为(B)A1B2C3D4解析中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象3(必修1P24T
4、4改编)已知f(x5)lg x，则f(2)等于(D)Alg 2Blg 32Clg Dlg 2解析解法一：由题意知x0，令tx5，则t0，xt，f(t)lg tlg t，即f(x)lg x(x0)，f(2)lg 2，故选D解法二：令x52，则x2，f(2)lg 2lg 2.故选D4(必修1P25BT1改编)函数yf(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_3,02,3_；值域是_1,5_；其中只与x的一个值对应的y值的范围是_1,2)(4,5_.题组三走向高考5(2018上海，16,5分)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则
5、在以下各项中，f(1)的可能取值只能是(B)ABCD0解析A选项，若f(1)，将点(1，)依次旋转后可得到函数图象上的一些点，由图可知，当x1、0时，对应了两个y值，不符合函数定义，f(1).同理，结合图象分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义，故选B6(2015陕西，5分)设f(x)则ff(2)(C)A1BCD解析f(2)22，ff(2)f()1，故选C考点突破互动探究考点一函数的概念及表示考向1函数与映射的概念自主练透例1 (1)下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？A1,2,3，BR，f(1)f(2)3，f(3)4.Ax|x0，BR，f：xy，y24x.AN，BQ，f：xy
6、.A衡中高三一班的同学，B0,150，f：每个同学与其高考数学的分数相对应(2)(2021河南安阳模拟改编)设集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(C)(3)下面各组函数中是同一函数的是(D)Ay与yxBy与y|x|Cy与yDf(x)x22x1与g(t)t22t1解析(1)是映射，也是函数；不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”；当x0时，与其对应的y值不存在故不是映射，更不是函数；是映射，但不是函数，因为集合A不是数集(2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B图象不满足函数的值域，C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不
7、满足函数的定义，故选C(3)本题考查函数的定义及三要素选项A中，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B中，两个函数的值域不同，不是同一函数；选项C中，两个函数的定义域不同，不是同一函数；选项D中，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数故选D答案(1)是映射，也是函数不是映射，更不是函数不是映射，更不是函数是映射，但不是函数(2)C(3)D名师点拨1映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓(2)函数是特殊的映射：当映射f：AB中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数2判断两
8、个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数考向2求函数的解析式师生共研例2 (1)已知flg x，则f(x)_lg (x1)_.(2)已知fx2x2，则f(x)_x22(x2或x2)_.(3)已知f(x)是二次函数且f(0)5，f(x1)f(x)x1，则f(x)_x2x5_.(4)已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_2x(x0)_.(5)已知f(0)1，对任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)y(2xy1)，则f(x)_x2x1_.解析(1)令t1，则由x0知11，x，所以由flg x
9、，得f(t)lg (t1)，所以f(x)lg (x1)(2)因为fx2x222，且当x0时，x2；当x0时，x2，所以f(x)x22(x2或x2)(3) 因为f(x)是二次函数且f(0)5，所以设f(x)ax2bx5(a0)又因为f(x1)f(x)x1，所以a(x1)2b(x1)5(ax2bx5)x1，整理得(2a1)xab10，所以解得a，b，所以f(x)x2x5.(4)因为2f(x)f3x，所以将x用替换，得2ff(x)，由解得f(x)2x(x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)(5)令x0，得f(y)f(0)y(y1)1y2y，f(y)y2y1，即f(x)x2x1.名师点拨求函
10、数解析式的五种方法变式训练1(1)已知f(cos x)sin2x，则f(x)_1x2，x1,1_.(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)_x2x(xR)_.(3)(理)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.(文)已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_2x(x0)_.解析(1)(换元法)设cos xt，t1,1，f(cos x)sin2x1cos2x，f(t)1t2，t1,1即f(x)1x2，x1,1(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx(
11、a0)又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)(3)(理)(转换法)当1x0，则0x11，故f(x1)(x1)(1x1)x(x1)，又f(x1)2f(x)，所以当1x0时，f(x).(文)2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)考点二分段函数及应用多维探究角度1分段函数求值问题例3 (理)(2020山西太原期中)已知函数f(x)则f(log23)(A)AB3CD6(文)(2020潮州期末)已知函数f(x)的图象经过点(3,0)，则f(
12、f(2)(B)A2 022BC2D1解析(理)解法一：函数f(x)f(log23)f(log231)log231log.故选A解法二：ffflog26.故选A(文)因为函数f(x)的图象过点(3,0)，所以log3(3m)10，解得m0，所以f(2)log3210，所以f(f(2)，故选B角度2分段函数与方程的交汇问题例4 设函数f(x)若f(1)f(a)2，则a_1或_.解析由于f(1)e111，再根据f(1)f(a)2得f(a)1.当a0时，f(a)ea11，解得a1；当1a0时，f(a)sin(a2)1，解得a22k，kZ.由1a0，得a.综上，a1或.角度3分段函数与不等式的交汇问题例
13、5 (2018全国，12)设函数f(x)则满足f(x1)0且2x0，即1x0时，f(x1)f(2x)显然成立；当x10时，x1，此时2x0，若f(x1)2x，解得x，则实数a的取值范围是_.(文)(角度3)函数f(x)若f(a)a，则实数a的取值范围是_1，)_.解析(1)(理)当a0时，由f(a)f(1)0得2a20，无实数解；当a0时，由f(a)f(1)0得a120，解得a3，满足条件，故选A(文)由题意得，f313，所以ff(3)93a6，所以a5，f(2) 4526.(2)f(2)f(1)1f(0)2cos(0)2123.(3)(理)当a0时，令2a，解得10时，令a，解得0a，a(1,0，即a.(文)当a0时，由f(a)a1a，解得a2，所以a0；当a0时，由f(a)a，解得1a1且a0，所以1a0，所以f(2)2ln 22ln 2.因为ln 0，所以f2ln 2.则f(2)f2ln 22ln 20.解法二：f(x)，f(2)f2ln 22ln 22ln 20.
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