1、第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)学习目标1.掌握任意角的三角函数的定义;2.已知角 终边上一点,会求角 的各三角函数值;3.记住三角函数的定义域及在各象限的符号.学习过程复习:初中锐角的三角函数是如何定义的?RtABC 中,设 A 的对边为 a,B 的对边为 b,C 的对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切依次为 sin A=,cos A=,tan A=.探究:1.坐标法求三角函数.锐角 可放在坐标系中,在角 的终边上任取一点 P(a,b),点 P 与原点的距离 r=2+2,sin=;cos=;tan=.由三角形相似,确定的 可对应相似的直角三
2、角形,这三个比值对应 ,随 P 在角的终边的位置改变而改变.2.单位圆.思考:怎样适当地选取 P 点使比值简化?其中,以原点为圆心,以 为半径的圆为单位圆.新知:1.任意角的三角函数.设 为一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y):那么:(1)y 叫做 的正弦,记作 sin,即 sin=y;(2)x 叫作 的余弦,记作 cos,即 ;(3)叫作 的正切,记作 ,即 tan=(x0).三角函数:对于确定的角,上面三个函数值都是唯一确定的,所以,正弦、余弦、正切都是以角为 ,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关
3、系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.2.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号.反思:在直角坐标系中,设 是一个任意角,终边上任意一点 P(除了原点)的坐标为(x,y),则 sin=,cos=,tan=.3.试用文字语言叙述公式(一)典型例题【例 1】求53 的正弦、余弦和正切值.【例 2】已知角 的终边过点 P0(-3,-4),求角 的正弦、余弦和正切值.【例 3】求证:当下列不等式组成立时,角 为第三象限角,反之也对.sin 0.【例 4】确定下列三角函数值的符号.(1)cos250;(2)sin(-4);(3)tan(-672);(4)tan3.【例 5】求下列三角函数值
4、.(1)sin148010;(2)cos94;(3)tan(-116).达标检测1.是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是()A.sinB.cosC.tanD.1tan2.已知点 P(tan,cos)在第三象限,则角 在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知角 的终边过点 P(-1,2),则 cos 的值为 .4.已知角 的终边过点(a,2a)(a0),求 的正弦、余弦和正切值.5.判断 sin4tan(-234)的符号.参考答案复习:,探究:1.坐标法求三角函数.锐角 可放在坐标系中,在角 的终边上任取一点 P(a,b),点 P 与原点的距离 r=2+2,sin=,c
5、os=,tan=.由三角形相似,确定的 可对应相似的直角三角形,这三个比值对应相等,不会随 P 在角的终边的位置改变而改变.2.单位圆.不难想到,当 r=1 时形式上比较简单,即 sin=b,cos=a,tan=,而当 r=1 时,可构设一个以原点为圆心以单位长为半径的圆,角 的终边与圆的交点选为 P 点.此时,点 P 与原点的距离r=1.其中,以原点为圆心,以 1 个单位长度为半径的圆为单位圆.新知:1.cos=x;tan;自变量2.三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的符号.函数定义域值域第一象限第二象限第三象限第四象限y=sin xR-1,1+-y=cos xR-1,1+-+y=t
6、an xx|x2+k,kZR+-+-反思:在直角坐标系中,设 是一个任意角,终边上任意一点 P(除了原点)的坐标为(x,y),则sin=2+2,cos=2+2,tan=.3.终边相同的角同一三角函数值相等.典型例题【例 1】解:在直角坐标系中,作AOB=53,AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(12,-32),所以 sin53=-32,cos53=12,tan53=-3.【例 2】解:sin=-4(-3)2+(-4)2=-45,cos=-3(-3)2+(-4)2=-35,tan=-4-3=43.【例 3】证明:如果 sin0,则角 的终边位于第一或第三象限.所以,角 的终边只能位于第三象限.【例 4】解:(1)因为 250是第三象限角,所以cos2500;(2)因为-4是第四象限角,所以sin(-4)0;(4)因为 tan3=tan(+2)=tan,而 的终边在 x 轴上,所以 tan=0.【例 5】解:(1)sin148010=sin(4010+4360)=sin40100.645;(2)cos94=cos(4+2)=cos4=22;(3)tan(-116)=tan(6-2)=tan6=33.达标检测1.B 2.B 3.-554.当 a0 时,sin=255,cos=55,tan=2;当 a0 时,sin=-255,cos=-55,tan=2.5.略
