1、第四章 数列 4.3.2等比数列的前n项和公式 第二课时 一 二 三 学习目标 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 理解等比数列前项和公式的性质 应用等比数列前项和公式的性质解题 学习目标 新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
2、?分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.由题意可得：112kkaa ,则数列an是以 25 为首项,公比 q=12 的等比数列.设an的前项和为 Sn.解:设各个正方形的面积组成数列an，正方形ABCD的面积为首项a1,则a1=25 则数列an是以 25 为首项,公比 q=12 的等比数列.(2)当 n 无限增大时，Sn 无限趋近于所有正方形的面积和:a1+a2+a3+an+,125 12150 11212nnnS 随着 n 的无限增大，(12)n 将趋近与 0，Sn 趋近与 50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于 50.4新知探究一：等比数列的前n项和公
3、式的实际应用(1)101010125 12150 11212S 25575.51212xy(1)6解：第 次着地时,经过的的总路程为1.一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.(1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)?(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm?50.61(10.61)100200386().10.61cm(2)400ncm设第 次着地时,经过的路程为,则有251002(100 0.61 100 0.61100 0.61)10.61(10.61)10020040010.61n，10.610.047.5
4、.nn 整理得,解得8400.cm因此,小球至少在第 次着地后,经过的总路程能达到课本P40新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此,可以利用等差数列、等比数列的知
5、识进行计算.解:设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列an，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列bn，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用=00001.05 1157.561.5201152nnn 数列bn为等差数列，b1=7.5，d=1.5,则 bn=6+1.5n，2327420 1.0542044nnn=()+()+()=(+)(+)=20(1.05+1.052+1.05n)-(7.5+9+6+1.5n)当 n=5 时，S5 63.5.所以,从今年起 5 年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5
6、万吨.由题意可知 an为等比数列,a1=20,q=1+5%,则 an=20(1+5%)n，常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cnanbn的前n项和公式，其中an与bn是等差数列或等比数列；(2)将等差数列和等比数列分开：Tn c1+c2+cn (a1+a2+an)(b1+b2+bn)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.)51(43)1(nnn4)5(13)1()5(1)5(1532)22()535353()242(111121nnnnnnnn原式解：12(2 3 5)(4 3 5)(23 5).计算：nn变式：例题小结例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年
7、存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的形式，其中k，r为常数;(3)求S10=c1c2c3c10的值(精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用分析:(1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式,通过比较系数,得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答.例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200
8、，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的形式，其中k，r为常数;(3)求S10=c1c2c3c10的值(精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用解:(1)由题意,得 c1=1200,并且 cn11.08cn-100.(2)将 cn+1-k=r(cn-k)化为：cn+1=rcn-rk+k比较的系数可得:=1.08-=-100rk rk 所以(1)中的递推公式可以化为:cn+1-1250=
9、1.08(cn-1250)例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，.(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1k=r(cnk)的形式，其中k，r为常数;(3)求S10=c1c2c3c10的值(精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用(3)由(2)可知 cn-1250是以-50 为首项，1.08 为公比的等比数列，125010-724.3=11775.7 11776.则(c1-1250)+(c2-1250)+
10、(c3-1250)+(c10-1250)S10=c1+c2+c3+c10 1050(1 1.08)=724.31 1.08=(c1+c2+c3+c10)-101250 123.已知等比数列an的前 n 项和 Sn,若 Sn=2an+1,求 Sn.解析:等比数列an的前 n 项和 Sn,当 n2 时,an=Sn-Sn-1 Sn=2an+1,Sn+1=2 an+1+1 Sn+1=2(Sn+1-Sn)+1 2Sn=Sn+1+1 则 2Sn-2=Sn+1-1 2(Sn-1)=Sn+1-1 1111nnSS=2又S1=2 a1+1 S1=-1 S1-1=-2，则数列 Sn-1是以首项为-2,公比为 2
11、的等比数列 Sn-1=-22 n-1 则 Sn=-2 n+1 课本P40新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质 思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn(q1)的函数特征吗？a11qn1q设 A a11q，则 SnAqnA.1(1)1nnaqSq111nnaa qSq 11+11 nnaaSqqq 当q1时，即Sn是n的指数型函数.当q1时，Snna1，即Sn是n的正比例函数.结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.【例】数列an的前n项和Sn3n2.求an的通项公式,并判断an是否是等比数列.解:当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.当n1时，a1S13121，不满足上式.
12、an1，n1，23n1，n2.由于a11，a26，a318，所以a1，a2，a3不是等比数列，即an不是等比数列.思考：还有其他方法判断an是否是等比数列吗？新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质 高 中 同 步 课 堂 学 案探究点三 等比数列的判断及其前n项和的函数特征精讲精练例3 一个等比数列的前 n 项和 Sn=1 2+2n，则 =(16 )A.1 B.1 C.2 D.3 B解析 设等比数列 an 的公比为 q，当 q=1 时，a1=S1=1 2+2=1，则 Sn=n，显然与题设不符，q 1，即此等比数列不是常数列，Sn=a11q a1qn1q=1 2+2n，则&a11q=1 2=，
13、&q=2，可得 =1 高 中 同 步 课 堂 学 案例4 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2n 1，判断 an 是不是等比数列，说明理由.解析 由 Sn=2n 1，得 a1=S1=1，当 n 2 时，an=Sn Sn1=2n 1 2n1 1=2n1,令 n=1,得 211=1=a1,所以 an=2n1，n ，anan1=2，n 2，n ,所以 an 是等比数列.思考：若an是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列an的项数有2n项，则(2)若等比数列an的项数有2n1项，则S奇a1a3 a2n-1 a2n+1
14、a1(a3 a2n-1 a2n+1)a1q(a2a4a2n)a1qS偶S奇a1qS偶S偶a2a4a2nS奇a1a3a2n1S偶a2a4a2n 1奇偶SaqSS偶qS奇 偶奇SqS 新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质【例】已知等比数列an共有2n项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n)80，求公比q.qS偶S奇2.解：由题意知S奇S偶240，S奇S偶80 S奇80，S偶160，新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质 高 中 同 步 课 堂 学 案例2 已知等比数列 an 共有32项，其公比 q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 an 的所有项之和是(3 )A.
15、30 B.60 C.90 D.120 D解析 设等比数列 an 的奇数项之和为 S奇，偶数项之和为 S偶,则 S偶=qS奇=3S奇 又 mS奇+60=S偶，则 S奇+60=3 S奇，解得 S奇=30,S偶=90，故数列 an 的所有项之和是 30+90=120.1、等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；3、数学思想方法的应用:方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；分类讨论思想：由等比数列前 项和公式可知，解答等比数列求和问 题时常常要用到分类讨论思想.2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；：nS 11111nnaqaa q qq20