1、第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念学习目标1.了解算法的概念及特征,学会用自然语言描述算法,增强利用算法来解决问题的意识.2.体会算法的思想,发展从具体问题中提炼算法的能力,以及有条理的思考问题的能力.3.通过应用数学软件解决问题,感受算法的价值,提高学习数学的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情境问题情境:一个农夫带着一匹狼、一头山羊和一篮蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设计一个方案,使农夫能安全地将这三样东西带过河.二、信息交流,揭示规律问题1:你能写出求解二元一次方程组x-
2、2y=-1,2x+y=1,的步骤吗?解二元一次方程组的主要思想是消元的思想,有代入消元和加减消元两种消元的方法,请用加减消元法写出它的求解过程.探究:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善?交流:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法.问题2:按照上述的方法,能否写出求解一般的二元一次方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2,其中,a1b2-a2b10的步骤?提炼:1.算法的概念在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.2.算法的特点(1)有限性:一个
3、算法的步骤是有限的,必须在有限步操作之后停止,不能是无限的.(2)确定性:算法中的每一步应该是确定的,并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可的.(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.(5)普适性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.三、运用规律,解决问题【例1】 (1)设计一个算法,判断
4、7是不是质数.(2)设计一个算法,判断35是不是质数.(3)任意给定一个大于2的正整数n,能否设计一个算法对n是不是质数作出判断?【例2】 写出用“二分法”求方程x2-2=0(x0)的近似解的算法.四、变式训练,深化提高1.任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数.2.写出解方程x2-2x-3=0的两个不同的算法.3.一位商人有9枚金币,其中1枚略轻的是假金币.你能设计用天平(不用砝码)将假金币找出来的算法吗?五、反思小结,观点提炼1.什么是算法?你能举出更多算法的例子吗?2.与一般解决问题的过程相比,你认为算法最重要的特征是什么?布置作业作业1课本P5练习第1题.作业2请设
5、计一个算法解决下面的问题:一个笼子里有一些鸡和兔,现在知道里面一共有35个头,94只脚,问鸡和兔各有多少只?参考答案一、设计问题,创设情境第一步,农夫带羊过河,独自返回;第二步,农夫带蔬菜过河,农夫带羊回来;第三步,农夫带狼过河,独自返回;第四步,农夫带羊过河.二、信息交流,揭示规律问题1:第一步,-2,得5y=3;第二步,解得y=0.6;第三步,+2,得5x=1;第四步,解得x=0.2.第五步,方程组的解为x=0.2,y=0.6.问题2:第一步,b2-b1,得(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.第二步,解,得x=b2c1-b1c2a1b2-a2b1.第三步,a1-a2,得(a1b2
6、-a2b1)y=a1c2-a2c1.第四步,解,得y=a1c2-a2c1a1b2-a2b1.第五步,得到方程组的解为x=b2c1-b1c2a1b2-a2b1,y=a1c2-a2c1a1b2-a2b1.三、运用规律,解决问题【例1】 (1)第一步,用2除7,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7.第二步,用3除7,得到余数1.因为余数不为0,所以3不能整除7.第三步,用4除7,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除7.第四步,用5除7,得到余数2.因为余数不为0,所以5不能整除7.第五步,用6除7,得到余数1.因为余数不为0,所以6不能整除7.因此,7是质数.(2)第一步,用2除35,
7、得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除35.第二步,用3除35,得到余数2.因为余数不为0,所以3不能整除35.第三步,用4除35,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除35.第四步,用5除35,得到余数0.因为余数为0,所以5能整除35.因此,35不是质数.(3)第一步,给定大于2的整数n.第二步,令i=2.第三步,用i除n,得到余数r.第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示.第五步,判断“i(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;否则,返回第三步.【例2】 解:第一步,令f(x)=x2-2.给定精确度d.第二步,确定
8、区间a,b,满足f(a)f(b)0.第三步,取区间中点m=a+b2.第四步,若f(a)f(m)0,则含零点的区间为a,m;否则,含零点的区间为m,b.将新得到的含零点的区间仍记为a,b.第五步,判断a,b的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是,则m是方程的近似解;否则,返回第三步.四、变式训练,深化提高1.解:第一步,给定一个大于1的正整数n.第二步,令i=1.第三步,用i去除n,得到余数为t,若t=0,则i是n的一个因数,输出i;否则,不输出i.第四步,给i增加1仍然用i表示.第五步,判断i0.第二步,将a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x=-bb2-4ac2a.得x=3或x=-1.3.解:第一步,将9枚金币平均分成三组,将其中两组放在天平的两边.如果天平平衡,则假的金币必定在另外一组;如果天平不平衡,则假的金币必定在较轻的一组.第二步,在有假金币的一组金币中,取出两枚金币,分别放在天平的两边.如果天平平衡,则假的金币必定是剩余的;如果天平不平衡,则假的金币必定在较轻的一边.