1、第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系学习目标1.理解并掌握圆与圆的位置关系及其判定方法.2.通过用代数法和几何法分析圆与圆的位置关系,培养分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.学习过程一、设计问题,创设情境在前面我们学习了点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系,问题1:点与圆的位置关系有哪几种?如何判断?问题2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判断?问题3:初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种?我们怎样判断圆与圆的位置关系呢?二、学生探索,尝试解决如何判断圆与圆的这五种位置关系?1.从方程的角度来看:由两个圆组成的方程组(x-a1)2+(y-b
2、1)2=r12(x-a2)2+(y-b2)2=r22的解的情况来看:方程组有两个解,则两圆;方程组有一个解,则两圆;方程组没有实数解,则两圆;2.判断两圆位置关系的方法多采用几何方法:设两圆的圆心距d,半径r1,r2,通过两个圆的和之间的关系进行判断.三、信息交流,揭示规律3.几何法(1)当时,圆C1与圆C2相离;(2)当d=r1+r2时,圆C1与圆C2;(3)当时,圆C1与圆C2相交;(4)当d=|r1-r2|时,圆C1与圆C2;(5)当时,圆C1与圆C2内含;步骤:(1)计算两圆半径r1,r2;(2)计算两圆圆心距d;(3)根据d与r1,r2的关系判断两圆的位置关系.4.代数方法:方程组x
3、2+y2+D1x+E1y+F1=0x2+y2+D2x+E2y+F2=0有两组不同实数解;有两组相同实数解相切();无实数解(外离或内含)(设计意图:体会几何法的优点.)四、运用规律,解决问题5.判断下列两圆的位置关系:(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.总结规律:(试总结如何判断圆与圆的位置关系?)6.圆x2+y2+4x-4y-1=0与圆x2+y2+2x-13=0相交于P,Q两点,求直线PQ的方程及公共弦PQ的长.总结规律:(试总结如何求两圆公共弦所在的直线方程?)7.求过两圆x2+y2+6x-4=
4、0与x2+y2+6y-28=0的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.总结规律:(试总结如何求圆的方程?理解圆系的方程?)8.已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的关系.总结规律:(试总结如何判断圆与圆的位置关系?)五、变练演编,深化提高本节的问题主要围绕圆和圆的位置关系来设计,例如判断两个圆的位置关系,通过两个圆的位置关系作为条件来求解圆的方程等.9.例如:求经过点M(2,-2),及圆x2+y2-6x=0与x2+y2=4交点的圆的方程.同学们可以仿照例题和所考查的知识点来进行编写.六、信息交流,教学相长9.求经过点M
5、(2,-2)以及圆x2+y2-6x=0与x2+y2=4交点的圆的方程.解:设所求园的方程为x2+y2-6x+(x2+y2-4)=0,即有(1+)x2+(1+)y2-6x-4=0,将点M的坐标代入得4(1+)+4(1+)-12-4=0,即有4-4=0,故得=1,代入即得2x2+2y2-6x-4=0,化简系数,x2+y2-3x-2=0就是所求圆的方程.(注:利用圆系方程进行求解)七、反思小结,观点提炼设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为r2.两圆圆心距为d(1)当时,两圆相离.(2)当圆心距时,两圆相外切.(3)当圆心距时,两圆相交.(4)当圆心距时,两圆相内切.(5)当圆心距时,两圆相内含.布置
6、作业:课本P133习题4.2A组第9,10,11题,B组第1题.参考答案二、1.相交,相切(外切或内切),外离或内含2.圆心距,半径三、3.dr1+r2,外切,|r1-r2|dr1+r2,内切,d|r1-r2|4.相交,内切或外切,相离四、5.(1)外切;(2)内含6.x-2y+6=0;67.依题意所求的圆的圆心,在已知圆的圆心的连心线上,又已知两圆的圆心分别为(-3,0)和(0,-3),则连心线的方程是x+y+3=0.由x+y+3=0,x-y-4=0解得x=12,y=-72.所以所求圆的圆心坐标是(12,-72).设所求圆的方程是x2+y2-x+7y+m=0,由三个圆有同一条公共弦得m=-3
7、2.(两圆的方程相减得到相交弦所在直线的方程)故所求方程是x2+y2-x+7y-32=0.8.方法一:圆C1与圆C2有几个公共点,它们的方程组成的方程组就有几组实数解;方法二:可以依据圆心距d与两半径的和r1+r2或两半径差的绝对值|r1-r2|的大小关系,判断两圆的位置关系圆C1的方程化成标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25圆C1的圆心是点(-1,-4),半径r1=5.把圆C2的方程化成标准方程,得(x-2)2+(y-2)2=10,圆C2的圆心是点(2,2),半径r2=10,圆C1与圆C2的圆心距d为(-1-2)2+(-4-2)2=35,圆C1与圆C2的两半径之和是r1+r2=5+10,两半径之差r1-r2=5-10,而5-1035r1+r2(2)d=r1+r2(3)|r1-r2|d|r1+r2|(4)d=|r1-r2|(5)d|r1-r2|