1、高中同步测试卷(十四)高考微专题导数及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线yex在点A(0，1)处的切线斜率为()A1 B2 Ce D2曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2e Be C2 D13曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B C. D14若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)5若函数f(x)x3x2ax4恰在1，4上是减少的，则实数a的值为()A3 B4 C
2、3 D46在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A. B C. D7设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为yf(x)的图像是()8设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A任意xR，f(x)f(x0) Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点 Dx0是f(x)的极小值点9若存在正数x使2x(xa)0)的图像上的动点，该图像在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_16已知f(x)x36x29
3、xabc，abc，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)axx2xln ab(a，bR，a1)，e是自然对数的底数(1)试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性；(2)当ae，b4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k1)上存在零点18(本小题满分12分)已知函数f(x)ex，求f(x)的单调区间19.(本小题满分12分)设函数f(x)ln xax，g(x)
4、exax，其中a为实数若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围20(本小题满分12分)已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)ex，xR. (1)求f(x)的反函数的图像上点(1，0)处的切线方程； (2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点； (3)设ab，比较f()与的大小，并说明理由. 22(本小题满分12分)设函数f(x)x3kx2x(kR)(1)当k1时，求函数f(x
5、)的单调区间；(2)当k0.所以f(x)在其定义域上是严格单调递增函数因为fe40，f(0)e040320，fe20，所以ff0.7解析：选D.设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x1时，ax22axbxbcca0，所以ca.所以f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1，x2，则x1x21，D中图像一定不满足该条件8导学号06140088解析：选D.不妨取函数f(x)x33x，则f(x)3(x1)(x1)，易判断x01为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A.
6、因为f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知，x01为f(x)的极大值点，故排除B；又f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知，x01为f(x)的极大值点，故排除C；因为f(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，由函数图像的对称性可得x0应为函数f(x)的极小值点故D正确9解析：选D.因为2x(xa)x.令f(x)x，所以f(x)12xln 20.所以f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)f(0)011，所以a的取值范围为(1，)，故选D.10导学号06140089解析：选A.由f(f(b)b得A(b，f(b)，A(f(b)，b)都在yf(x)的图像上为突破口解决若存
7、在b0，1使f(f(b)b成立，则A(b，f(b)，A(f(b)，b)都在yf(x)的图像上又f(x)在0，1上单调递增，所以(xAxA)(yAyA)0，即(f(b)b)(bf(b)0，所以(f(b)b)20，所以f(b)b.所以f(x)x在x0，1上有解，即x在0，1上有解，所以aexxx2，x0，1令(x)exxx2，x0，1，则(x)ex12x0，x0，1，所以(x)在0，1上单调递增，又(0)1，(1)e，所以(x)1，e，即a1，e，故选A.11解析：选A.因为yexax，所以yexa，当a0时，y不可能有极值点，故a0，由exa0，得exa，所以xln(a)，所以xln(a)即为函
8、数的极值点，所以ln(a)0，即ln(a)ln 1.所以a1.12解析：选C.设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y的图象可知两函数图象交点x0(0，1)，因此函数f(x)在(0，1)上不是单调函数，故A，B选项不正确设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，所以g(x)0.所以函数g(x)在(0，1)上是减函数又0x1x21，所以g(x1)g(x2)，所以x2ex1x1ex2.13解析：令ext，则xln t，所以f(x)ln xx，即f(x)1，则f(1)112.答案：214.解析：如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为
9、x m，则梯形的周长为x(1x)(1x)13x，梯形的面积为x2，所以s(0x0)所以f(x)ex(x0)在P点的切线l的方程为yex0ex0(xx0)所以M(0，ex0x0ex0)过P点的l的垂线方程为yex0(xx0)，所以N.所以2tex0x0ex0ex02ex0x0ex0x0ex0(x00)则(2t)2ex0ex0x0ex0ex0x0ex0(1x0)(ex0ex0)因为ex0ex00，所以当1x00，即0x00，2t在x0(0，1)上单调递增；当1x01时，(2t)0，2t在x0(1，)上单调递减所以当x01时，2t有最大值e，即t的最大值为.答案：16解析：因为f(x)3x212x9
10、3(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，所以f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0，所以0abc4.所以a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图所以f(0)0，所以f(0)f(1)0，所以正确结论的序号是.答案：17导学号06140091解：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a因为a1，所以当x(0，)时，ln a0，ax10，所以f(x)0，所以函数f(x)在(0，)上是增加的(2)因为f(x)exx2x4，所以f(x)ex2x1，所
11、以f(0)0，当x0时，ex1，所以f(x)0，所以f(x)是(0，)上的增函数；同理，f(x)是(，0)上的减函数又f(0)30，f(1)e40，f(2)e220，当x2时，f(x)0，所以当x0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，所以k1满足条件；f(0)30，f(1)20，f(2)20，当x2时，f(x)0，所以当x0时，函数f(x)的零点在(2，1)内，所以k2满足条件综上所述，k1或2.18解：函数f(x)的定义域为(，)f(x)()exexexex.当x0；当x0时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)
12、上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)21导学号06140092解：(1)f(x)的反函数为g(x)ln x，设所求切线的斜率为k.因为g(x)，所以kg(1)1，于是在点(1，0)处的切线方程为yx1.(2)证明：法一：曲线yex与曲线yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数因为(0)110，所以(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1.当x0时，h(x)0时，h(x)0，所以(x)在(0，)上单调递增；所以(x)在x0处有唯一的极小值(0)0，即(x)在R上的最小值为(0)0.所以(x)0(当且仅当
13、x0时等号成立)，所以(x)在R上是单调递增的，所以(x)在R上有唯一的零点，故曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一的公共点法二：因为ex0，x2x10，所以曲线yex与曲线yx2x1公共点的个数等于曲线y与y1公共点的个数设(x)，则(0)1，即当x0时，两曲线有公共点又(x)0(当且仅当x0时等号成立)，所以(x)在R上单调递减，所以(x)与y1有唯一的公共点，故曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一的公共点(3)f()eee(ba)设函数u(x)ex2x(x0)，则u(x)ex2220，所以u(x)0(当且仅当x0时等号成立)，所以u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令x，则得e
14、e(ba)0.又0，所以f()22导学号06140093解：(1)当k1时，f(x)x3x2x，f(x)3x22x1，因为443180恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(，)，函数f(x)没有单调递减区间(2)当k0时，f(x)x3kx2x，f(x)3x22kx1，4k2124(k23)当k0时，0，所以f(x)0恒成立，所以函数f(x)在k，k上单调递增，故mf(k)k3kk2kk，Mf(k)(k)3k(k)2k2k3k.当k0，由f(x)0可求得方程的两个根为x1，x2，因为kx1x200，kx1x2k0，从而kx1x20可得kxx1或x2xk，由f(x)0可得x1x0，所以f(x2)f(k)，所以mf(k)k.又因为f(x1)f(k)xkxx1(2k3k)(x1k)(x1k)2k210，(其中xkxx1(2k3k)xkxx1k3k3k(xk3)(kxk3)(x1k)(x1k)(xkx1k2)k(x1k)(x1k)(x1k)(x1k)(xkx1k2)k(x1k)1(x1k)(x2kx1k2)k21(x1k)(x1k)2k210)所以f(x1)f(k)，所以Mf(k)2k3k.综上所述，mk，M2k3k.
