1、习题课导数运算及几何意义的综合问题课后篇巩固提升1.曲线y=x+3x在下列哪个点处的切线的倾斜角最大()A.2,72B.(3,23)C.(3,4)D.(-1,-4)解析由题意知,y=1-3x2,当x=2,3,3,-1时,导数y的值分别为14,0,23,-2,因此由导数的几何意义,只有点(-1,-4)处的切线的斜率小于0,故其倾斜角最大.答案D2.曲线y=sinxsinx+cosx-sin2x在点M4,0处的切线的斜率为()A.-12B.12C.-22D.22解析y=cosx(sinx+cosx)-sinx(cosx-sinx)(sinx+cosx)2-2sin xcos x=sin2x+cos
2、2xsin2x+cos2x+2sinxcosx-sin 2x=11+sin2x-sin 2x,所以曲线在点M4,0处的切线的斜率为k=11+sin2-sin2=12-1=-12.故选A.答案A3.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是()A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0解析对函数求导得y=2x,设切点坐标为(x,y),因为切线与直线2x-y+4=0平行得斜率k=2x=2,即x=1,则切点坐标为(1,1),与直线2x-y+4=0平行的抛物线的切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,故选D.答案D4.曲线y=2xln x在
3、x=e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A.e24B.e22C.e2D.2e2解析y=2xln x,y=2ln x+2x1x=2ln x+2,所以y|x=e=2+2=4,当x=e时,y=2e,所以切线方程为y-2e=4(x-e),即y=4x-2e,此直线与x轴、y轴交点坐标分别为e2,0,(0,-2e),所以切线与坐标轴围成的三角形面积是S=12e22e=e22.故选B.答案B5.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a的值为()A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或7解析设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(
4、x0,x03),则切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,代入以上方程得x0=0或x0=32.当x0=0时,直线方程为y=0.由y=0与y=ax2+154x-9相切可得a=-2564.当x0=32时,直线方程为y=274x-274.由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切可得a=-1.答案A6.已知函数f(x)=13x3-4x,x0,-1x-lnx,0x1,若f(a)=12,则实数a的值等于.解析由已知得f(x)=x2-4,x0,1-xx2,0x1,所以a0,a2-4=12或0abc),试证明方程f(x)=0必有两个实数根.证
5、明f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)(x-b)(x-c),f(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b).令g(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c),abc,g(a)=(a-b)(a-c)0,g(b)=(b-a)(b-c)0,根据函数零点的性质知,函数g(x)在区间(b,a)和(c,b)内各有一个零点,故原方程有两个实根,且一个大于b,另一个小于b.10.已知曲线y=x2+1,问是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.解y=x2+1,y=2x.设切点为(t,t2+1),则切线斜率为y|x=t=2t,于是切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t).将(1,a)代入切线方程,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.切线有两条,=(-2)2-4(a-1)0,解得a2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且a的取值范围是(-,2).