1、高考大题强化练(五)解析几何综合问题1在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(2，0)，动点P满足kPAkPB.(1)求点P的轨迹方程C；(2)过F(1，0)的直线交曲线C于M，N两点，MN的中点为Q，O为坐标原点，直线OQ交直线x4于点E，求的最小值【解析】(1)设P(x，y)，根据题意有，化简得1(y0)，所以点P的轨迹方程C为1(y0)；(2)设直线方程为xmy1，联立方程消去x得：(3m24)y26my90，设M(x1，y1 )，N(x2，y2 )，所以36m236(3m24)0，y1y2，y1y2，所以x1x2m(y1y2)2，故点Q，则|MN|y1y2|，因为点Q，所以直线OQ
2、的方程为yx，所以点E的坐标为(4，3m)，得到|EF|3，所以3，令t，则t1，所以在1，)上单调递增，故t1，即m0时，的值最小最小值为1.2已知圆锥曲线1过点A(1，)，且过抛物线x28y的焦点B.(1)求该圆锥曲线的标准方程；(2)设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为(，0)，点E的坐标为(0，)，直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：|DN|EM|为定值【解析】(1)抛物线x28y的焦点B(0，2)，将点A(1，)，B(0，2)代入方程得 解得所以圆锥曲线的标准方程为1；(2)由(1)可知，该圆锥曲线为椭圆，且D(，0)，E(0，2)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则直
3、线PD：y(x)，令x0，得yM，所以|EM|；直线PE：yx2，令y0，得xN，所以|DN|.所以|DN|EM|.因为点P在椭圆上，所以1，即y2x4.代入上式得：|DN|EM|4.故|DN|EM|为定值3设点M和N分别是椭圆C：y21(a0)上不同的两点，线段MN最长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN过点Q(0，2)，且0，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围【解析】(1)因为线段MN最长为4，所以42a，即a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为ykx2，联立整理得(14k2)x216kx120，由(16k)24(
4、14k2)1216(4k23)0，可得k2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.因为0，所以x1x2y1y20，即k24，故k24.设直线OP的斜率为k，因为两式相减得，所以k，则k2，故直线OP的斜率的取值范围是.4已知F1(1，0)，F2(1，0)，点D是圆O：x2y24上一动点，动点E满足2，点P在直线EF1上，且DPEF2.(1)求点P的轨迹C的标准方程；(2)已知点Q在直线l：x40上，过点Q作曲线C的两条切线，切点分别为M，N，记点M，N到直线OQ的距离分别为d1，d2，求的最大值，并求出此
5、时Q点的坐标【解析】(1)由2可知，D为线段EF2的中点，又PDEF2，故PD是线段EF2的垂直平分线，则|PE|PF2|，因为点P在直线EF1上，所以|PF1|PF2|PF1|PE|EF1|2|OD|42，由椭圆定义可知，点P的轨迹是以F1(1，0)，F2(1，0)为焦点，以4为长轴长的椭圆，即2a4，c1，所以a2，b，另当点D坐标为(2，0)时，P与D重合，不符合题意，所以轨迹C的标准方程为1(x2)；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(4，t)，则曲线C：1上点M(x1，y1)处的切线QM的方程为1，又切线QM过点Q(4，t)，所以x11，同理可得x21，故直线MN的方程为x1，所以由弦长公式可得|MN|y1y2|，因为直线OQ的方程为tx4y0，所以d1，d2，又因为M，N在直线OQ两侧，所以d1d2，所以，令t212x(x12)，y，则y(x12)，当，即t2时，y有最大值，此时点Q的坐标为(4，2).
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