1、高考大题强化练(三)数列综合问题1已知数列an和bn，a12，1，an12bn，(1)证明：2是等比数列；(2)若cn，求数列cn的前n项和Sn.【解析】(1)已知数列an和bn，a12，1，an12bn，所以1，整理得2，所以2是以2为首项，为公比的等比数列；(2)由于2是以2为首项，为公比的等比数列；所以bn，所以cn，所以Sn.2已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是正项递增的等比数列，且a1b12，a3b3，S5b58.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，求Tn.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由题设知
2、：解得或因为数列bn是正项递增的等比数列，所以所以an23(n1)3n1，bn22n12n；(2)由(1)知an3n1，bn2n，又an1kbk3(n1k)12k(3n23k)2k，k1，2，n，所以Tn(3n1)21(3n4)2222n，2Tn(3n1)2252n22n1，两式相减得：Tn2(3n1)3(22232n)2n26n232n26n1052n1，所以Tn52n16n10.【加练备选拔高】已知数列an中,a1=1,an=2an+1-(nN*).(1)求证:数列2nan是等差数列,并求数列an的通项公式;(2)设bn=,令bn的前n项和为Sn,求证:Sn1.【解析】(1)因为a1=1,
3、an=2an+1-(nN*),两边同时乘以2n,即有2nan=2n+1an+1-1,即2n+1an+1-2nan=1.又21a1=2,所以数列2nan是首项为2,公差为1的等差数列,所以2nan=n+1,故an=.(2)由(1)知bn=,所以Sn=1-1.3已知an满足a12，an12an2n1.(1)证明是等差数列；(2)求an的前n项和Sn；(3)若bn，bn的前n项和是Tn，求证：Tn.【解析】(1)因为an12an2n1，所以1，又因为1，所以数列是首项、公差均为1的等差数列；(2)由(1)可知：n，所以ann2n，又Sn121222n2n，2Sn122(n1)2nn2n1，两式相减得
4、：Sn2222nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Sn(n1)2n12；(3)由(1)知ann2n，所以bn2，所以Tn.4已知是锐角，tan 1，函数f(x)x2tan 2xsin ，数列an的前n项和为Sn，且2Snf(n).数列bn是等比数列，b11，a5b23.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，若TnM对一切的正整数n都成立，求M的最小值；(3)设数列cn满足cn3an2bn，且cn是递增数列，求实数的取值范围【解析】(1)因为是锐角，tan 1，所以tan 21，2，sin 1，所以f(x)x2x，2Snf(n)n2n，所以Sn.所以当n1时，a1S11，当n2时，anSnSn1n，综合得ann.设数列bn的公比为q，因为b11，a5b23，所以b2a53532q，所以bn2n1，所以ann，bn2n1；(2)由(1)可得，又Tn123，Tn12(n1)，两式相减得：Tn12(n2)，所以Tn4，因为Tn随n的增大而增大，且Tn4，所以Mmin4；(3)由(1)可得cn3n22n13n2n，因为cn是递增数列，所以cn1cn3n12n13n2n23n2n0，所以2，又23，所以3.
