1、课时作业梯级练十六导数与不等式 一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知函数f(x)=x2ex,当x-1,1时,不等式f(x)m恒成立,则实数m的取值范围是()A. B. C.e,+)D.(e,+)【解析】选D.由f(x)=xex(x+2),令f(x)=0,得x=0或x=-2(舍去).当x-1,0)时,f(x)0,f(x)单调递增,f(-1)= ,f(1)=e,所以f(x)最大=f(1)=e,由题意得me.2.(2021绵阳模拟)函数f(x)在R上存在导数,若(x-1)f(x)0,则必有 ()A.f(0)+f(2)2f(1)B.f(0)+f(2)2f(1)【解析】选A. f 0,则x1时f
2、0;x0都成立,则实数k的取值范围是()A.(-,1B. C.(-,eD. 【解析】选A.因为xex-ln x-1kx对任意的x0都成立,运用“xR时,exx+1恒成立”的结论可得,xex-ln x-1=ex+ln x-ln x-1x+ln x+1-ln x-1=x,即(k-1)x0对任意的x0都成立,即k-10,解得k1.4.已知函数f(x)= x3-x2- x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()A.f(-a2)f(-1)B.f(-a2)f(-1)C.f(-a2)f(-1)D.f(-a2)与f(-1)的大小关系不确定【解析】选A.由题意可得f(x)= x2-2x- .由f(x)= (
3、3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x= .当x-1时,f(x)为增函数;当-1x ,则不等式f(x2) ,所以F(x)=f(x)- 0,即函数F(x)在R上单调递增.f(x2) + 可转化为f(x2)- f(1)- ,即F(x2)F(1),而函数F(x)在R上单调递增,x21,所以-1x0恒成立,当a1时,f(x)min=f(a)=2a-a20,所以0a1时,由f(x)=x-aln x0恒成立,即a 恒成立.设g(x)= ,则g(x)= .令g(x)=0,得x=e,且当1xe时,g(x)e时,g(x)0,所以g(x)min=g(e)=e,所以ae.综上,a的取值范围是0,e.7.(2020
4、广州模拟)已知函数f(x)=e|x|-ax2,对任意x10,x20,x1x2,都有(x2-x1)f(x2)-f(x1)0,则实数a的取值范围是()A. B. C. D. 【解析】选A.因为对任意x10,x20,x1x2,(x2-x1)f(x2)-f(x1)1,所以当a0时上述不等式恒成立.当a0时,若a= ,如图,作出函数y=-ex对应的直线与y= 的图象,则两图象相切于点(-1,e),故当0a 时,-2ax 在(-,0)上恒成立.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f = 若不等式f 对任意的xR恒成立,则实数k的取值范围是.【解析】当x1时,f =ln xf(x)= f(1)=1
5、,所以函数f 在(1,0)处的切线方程为:y=x-1,令g(x)= ,它与横轴的交点坐标为(k,0).在同一直角坐标系内画出函数f = 和g(x)= 的图象如图所示:利用数形结合思想可知:不等式f 对任意的xR恒成立,则实数k的取值范围是k1.答案:k19.若对任意a,b满足0abt,都有bln aaln b,则t的最大值为.【解析】因为0abt,bln aaln b,所以 0,解得0x0)的不等式 有正整数解,则实数的最小值为()A.9B.8C.7D.6【解析】选A.由 两边取对数,得 ln x3ln 3存在正整数解,则0,故 .记函数f(x)= ,则由f(x)= 知函数f(x)在(0,e)
6、上单调递增,在(e,+)上单调递减,注意到2e3,故只需考虑f(2),f(3)的大小关系,因为f(2)= =f(4)2C.x0(0,+),f(x0)=0D.f(x)min(0,1)【解析】选B.易知f(x)=ex-ln x的定义域为(0,+),且f(x)=ex- = ,令g(x)=xex-1,x0,则g(x)=(x+1)ex0,在0,+)上恒成立,则g(x)在0,+)上单调递增,又g(0)g(1)=-(e-1)2.3.(5分)函数f(x)=x-2sin x,对任意的x1,x20,恒有|f(x1)-f(x2)|M,则M的最小值为.【解析】因为f(x)=x-2sin x,所以f(x)=1-2cos
7、 x,所以当0x 时,f(x)0,f(x)单调递减;当 x0,f(x)单调递增;所以当x= 时,f(x)有极小值,也是最小值,即f(x)min=f = -2sin = - .又f(0)=0,f()=,所以在x0,上,f(x)max=.由题意得|f(x1)-f(x2)|M等价于M|f(x)max-f(x)min|=- = + .所以M的最小值为 + .答案: + 4.(10分)设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xR)的一个极值点.(1)求a与b之间的关系式,并求当a=2时,函数f(x)的单调区间;(2)设a0,g(x)= ex.若存在x1,x20,4使得|f(x1)-g(x2)
8、|0得-3x0得-a-1x3,又x0,4,所以f(x)在0,3)上单调递增,在(3,4上单调递减,于是f(x)max=f(3)=a+6,f(x)min=minf(0),f(4)=-(2a+3)e3.g(x)在0,4上单调递增,g(x)a2+ , e4.根据题意, -(a+6)0恒成立,所以只要 -(a+6)1,解得- a0,所以a .5.(10分)设函数f(x)= x2+ax-ln x(aR).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)若对任意a(4,5)及任意x1,x21,2,恒有 m+ln 2|f(x1)-f(x2)|成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+).当a=1时,f(x)=x-ln x,f(x)=1- = ,当0x1时,f(x)1时,f(x)0, f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.(2)由题意知f(x)=(1-a)x+a- = ,当a(4,5)时,1-a-3,0 |f(x1)-f(x2)|成立,所以 m+ln 2 - +ln 2,得m .因为a(4,5),所以 =1- 1- = ,所以m ,故实数m的取值范围是 .
