1、课时作业梯级练五十七抛物线【基础落实练】（30分钟60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2020全国卷)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9【解析】选C.设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+=12,即12=9+,解得p=6.2.(2020全国卷)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.B.C.(1,0)D.(2,0)【解析】选B.将x=2代入y2=2px(p0)得y=2,由ODOE得kODkOE=-1,即=-1
2、,得p=1,所以抛物线C:y2=2x的焦点坐标为.3.(2020北京高考)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP【解析】选B.因为点P在抛物线上,所以|PQ|=|PF|,所以FQ的垂直平分线经过点P.4已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2.F2也是抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线AF1的倾斜角为45，则C的离心率为()A B1C3 D1【解析】选B.由题意可知，c，则p2c.所以E：y24cx.因为F1，直线AF1的倾斜角为
3、45，所以直线AF1的方程为：yxc.由得所以A.因为F2，所以AF2F1F2.在RtAF2F1中，2c，2c.由椭圆的定义得2a，即2c2c2a，解得1.5(2021聊城模拟)已知抛物线C：y24x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且3，则|AB|()A B C D【解析】选C.由抛物线方程y24x，知焦点F(1，0)，准线l：x1，如图，设l与x轴交点为K，过B作BMl，交l于M，则易知BMKF，所以ABMAFK，设|BF|m，由3，可知|AB|2m，所以|KF|AF|m，又由方程知|KF|2，所以m2，即m，所以|AB|2m.二、填空题(每小题5分，共15
4、分)6已知动圆M过定点N，且截y轴所得弦长为8，设圆心M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为_【解析】设动圆圆心M，则，化简整理得y28x，故曲线C的方程为y28x.答案：y28x7已知抛物线x24y焦点为F，经过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，以下四个结论：x1x24，|AB|y1y21，A1FB1，AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的是_【解析】抛物线x24y焦点为F(0，1)，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykx1.由得x24kx40，则x1x24k，x1x24，正确；|AB|AF|BF|y
5、11y21 y1y22，不正确；(x1，2)，(x2，2)，所以x1x240，所以，A1FB1，正确；AB的中点到抛物线的准线的距离d(|AA1|BB1|)(y1y22)(kx11kx212)(4k24)2 .当k0时取得最小值2，正确答案：8若A，B为曲线C：y28x上的两个动点，且线段AB的中点P到y轴距离d4，则的最大值为_，此时直线AB的方程为_【解析】设直线AB的方程为xmyn，由消去x得y28my8n0，所以64m232n0，2m2n0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y28m，y1y28n，xPmn4m2n4，n44m2，32(2m2n)64(2m2)0，m22.881
6、2，当且仅当1m22m2，即m2(满足m22)时，取得最大值，此时m，n2，直线AB：xy20.答案：12xy20三、解答题(每小题10分，共20分)9已知F为抛物线C：ymx2的焦点(1)设A，动点P在C上运动，证明：6.(2)如图，直线l：yxt与C交于M，N两点(M在第一象限，N在第二象限)，分别过M，N作l的垂线，这两条垂线与y轴的交点分别为D，E，求的取值范围【解析】(1)因为抛物线ymx2的焦点坐标为，所以1，即m，则A的坐标为，且C的准线方程为y1.设P到准线的距离为d，则d，因为A到准线的距离为516，所以d6.(2)由得x22x4t0.设M，N，则x1x22，x1x24t0，
7、所以t0，x1x22.直线DM的方程为yy12，令x0，得yD2x1y1，同理得yE2x2y2，所以yDyE2y1y2，因为x1x22，所以5，即的取值范围为.10若抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，O是坐标原点，M为抛物线上的一点，向量与x轴正方向的夹角为60，且OFM的面积为.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C的准线与x轴交于点A，点N在抛物线C上，求当取得最大值时，直线AN的方程【解析】(1)设M的坐标为M，如图因为向量FM与x轴正方向的夹角为60，F，所以|MF|2，根据抛物线定义得：|MF|x，即x2，解得x，即|MF|2p，则SOMF|OF|MF|sin OFM2psi
8、n 120p2，解得p2，即抛物线C的方程为：y24x；(2)设N的坐标为N，A，则，因为点N在抛物线C：y24x上，即有：b24a，所以，因此，当且仅当a，即a1时等号成立，此时N，A，所以直线AN的方程为yx1或yx1.【素养提升练】（20分钟35分）1.(5分)已知点P为抛物线C:y2=4x上的一个动点,PM垂直C的准线,垂足为M,A点坐标为(7,8),则|PA|+|PM|的最小值是()A.7B.8C.9D.10【解析】选D.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,则|PM|=|PF|,F(1,0),所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|AF|=10.2.(5分)已知抛物线C:y2=2px
9、(p0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为()A.(1,-1)B.(2,0)C.D.(1,1)【解析】选A.因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则,则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),所以kPQ=,又因为P,Q关于直线l对称,所以kPQ=-1,即y1+y2=-2,所以=-1,又因为PQ的中点一定在直线l上,所以=+2=1.所以线段PQ的中点坐标为(1,-1).3抛物线C1：x22py的焦点与双曲线C2：y21的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M.若
10、C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A B C D【解析】选D.抛物线C1：x22py的焦点F的坐标为，且由x22py得y，y；双曲线y21的左焦点F1的坐标为，直线FF1的截距式方程为：1，两条渐近线方程分别为：yx，yx；设点M的坐标为，根据题意：y|xx0，即，x0p，所以y0.因为M是直线FF1与抛物线的交点，所以M在直线1上，于是有1，1，p.【加练备选拔高】已知双曲线C:-b2y2=1的右焦点到其中一条渐近线的距离等于,抛物线E:y2=2px的焦点与双曲线C的右焦点重合,则抛物线E上的动点M到直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1的距离之和的最小值为()A.1B
11、.2C.3D.4【解析】选B.双曲线C：b2y21的渐近线方程y，右焦点，到其一条渐近线的距离，解得b2，所以双曲线的右焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为，即抛物线方程为y24x，作示意图如图所示过点M作MAl1，垂足为A，作准线的垂线MC，垂足为C，连接MF，根据抛物线定义有，即动点M到直线l1：4x3y60和l2：x1的距离之和等于，当A，M，F三点共线时距离之和最小，即点F到直线l1：4x3y60的距离为2.4已知抛物线C：x22py的焦点为F，点A在抛物线C上，且3.(1)求抛物线C的方程及x0的值； (2)设点O为坐标原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线l交抛物线于M，N两点，点Q
12、为抛物线C上异于M，N的一点，若t，求实数t的值【解析】(1)由题意知，抛物线的准线方程为：y，根据抛物线的定义，13，所以p4，故抛物线方程为x28y，点F(0，2)，当y1时，x02.(2)由(1)知，直线l的方程为yx2，联立得x26x160，解得x12，x28，所以M，N，设点Q的坐标为，则由OQOMtON得t，所以又因为点Q在抛物线x28y上，所以28，解得t或t0(舍去).5在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1，0)，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足0，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)已知点G(3，2)，动直线xt(t3)
13、与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线y2上截得的弦长的最小值【解析】(1)因为点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，所以设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，因为F(1，0)，0，所以(a，b)(1，b)ab20*，因为A关于点B的对称点为M，所以0，b，即ax，b，代入*式得y24x，所以曲线C的方程是y24x.(2)由(1)知抛物线的方程为y24x，直线xt(t3)与抛物线方程联立解得，y2，设P(t，2)，Q(t，2)，因为P，Q关于x轴对称，所以过G，P，Q三点的圆的圆心在x轴上，设圆心为E(m，0)，所以|EG|EP|，即，解得m，所以圆E的方程为(xm)
14、2y2(m3)24，令y2，则x12m3，x23，所以圆E在直线y2上截得的弦长为|x1x2|2m33|，因为t30，t22t5(t1)240，所以|x1x2|t34，2444，当且仅当t3，即t32时，取等号，所以当t32时，圆E在直线y2上截得的弦长的最小值为44.1已知抛物线C：y22px的焦点为F，点M是抛物线C上一点，以M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x截得的弦长为，若3，则实数p为()A3 B C2 D1【解析】选A.由题意M在抛物线上，则2px015，则px0，过点M作直线x的垂线，垂足为D，由抛物线的性质可知，x0，又3，则3，因为被直线x截得的弦长为，则，又，在Rt
15、MDE中，222，即，将代入整理得4xp234，由解得x0，p3.【加练备选拔高】已知抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点(1)求抛物线C的方程;(2)若P是抛物线C上一点,点A的坐标为,求|PA|+|PF|的最小值;(3)若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M,N两点,求线段MN的中点坐标.【解析】(1)由准线方程x=-,得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x.(2)过点P作准线的垂线,垂直为B,则|PB|=|PF|,要使|PA|+|PF|的值最小,则P,A,B三点共线,此时|PA|+|PF|=+=4.(3)直线MN的方程为y=x-.设M(x1,y1),N(
16、x2,y2),把y=x-代入抛物线方程y2=2x,得x2-3x+=0,因为=9-41=80,所以x1+x2=3,=,线段MN中点的横坐标为,纵坐标为-=1,所以线段MN的中点坐标为.2.已知抛物线E:y2=2px(p0)恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点,ABDC,AD的延长线与抛物线E的准线的交点M.则抛物线的方程为,直线BD经过定点的坐标是.【解析】根据题意,M为抛物线E的准线上的点,所以=,即p=1,所以抛物线E的方程为y2=2x.抛物线E的焦点为,设A(x1,y1),B(x1,-y1),D(x2,y2),设直线AD的方程为y=k,联立方程组得k2x2+(k2-2)x+=0,则x1x2=
17、且0x1x2,所以x10),直线BD的方程为y=(x-n)与方程y2=2x联立得x2-x+=0,则x1x2=n2,即n2=,解得n=,即BD经过点.答案:y2=2x2已知抛物线E：y22px(p0)恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，ABDC，AD的延长线与抛物线E的准线的交点M.则抛物线的方程为_，直线BD经过定点的坐标是_【解析】根据题意，M为抛物线E的准线上的点，所以，即p1，所以抛物线E的方程为y22x.抛物线E的焦点为，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，D(x2，y2)，设直线AD的方程为yk，联立方程组得k2x2(k22)x0，则x1x2且0x1x2，所以x1x2，设BD与x轴
18、的交点坐标为(n，0)(n0)，直线BD的方程为y(xn)与方程y22x联立得x2x0，则x1x2n2，即n2，解得n，即BD经过点.答案：y22x【加练备选拔高】已知圆M经过点F(0,1)与直线y=-1相切,圆心M的轨迹为曲线C,过点N(0,2)作直线与曲线C交于不同两点A,B,三角形OAB的垂心为点H.则点H在一条定直线上,这条直线的方程为.【解析】圆M经过点F(0,1)与直线y=-1相切,则圆心M满足到点F(0,1)与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义,可得圆心M表示以F(0,1)为焦点,以y=-1为准线的抛物线,其中p=2,所以圆心M的轨迹方程为x2=4y.设A(4t1,4),B(4t2,4),由A,B,N三点共线,则=,整理得t1t2=-.过点A与直线OB垂直的直线为y-4=-(x-4t1),同理过点B与直线OA垂直的直线为y-4=-(x-4t2),两条垂线联立方程组解得y=-4t1t2-4=-2,所以垂心在直线y=-2上.答案:y=-2
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