1、课时作业梯级练三十一二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.设M为不等式所表示的平面区域,则位于M内的点是()A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)【解析】选C.当x=0,y=2时,x+y-10,不满足,排除A;当x=-2,y=0时x-y+10,不满足,排除D.2.已知M,N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是()A.B.C.3D.【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形ABCD,其中A(1,1),B(5,1),C,D(1,2).因为M,N是区域内的两个不同的点,所以运动点M,N,可得当M
2、,N分别与对角线BD的两个端点重合时,距离最远,因此|MN|的最大值是|BD|=.3.已知实数x,y满足则z=的取值范围为()A.B.(-,0C.D.(-,2【解析】选B.z=2+,设k=,则k的几何意义为区域内的点到D(0,-2)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图:由解得即A(3,2),则AD的斜率k=,CD的斜率k=-2,则k的取值范围是k或k-2,则k+2或k+20,即z或z0.4.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为()甲乙每天原料的可
3、用总量A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解析】选D.设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨,由已知可得目标函数z=3x+4y,作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界),可得目标函数在点P处取得最大值,由得P,则zmax=32+43=18(万元).5.记不等式组的解集为D,(x,y)D,使2x+ya成立,则实数a的取值范围是()A.(-,3B.(-,-5C.-5,3D.3,+)【解析】选A.可行域如图所示,由得A(2,-1),当z=2x+y过A(2,-1)时zmax=22-1=3,所以a3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点(
4、3,1)和点(0,-1)在直线3x-ay+1=0的两侧,则实数a的取值范围是_.【解析】将(3,1)和(0,-1)代入3x-ay+1中,则(33-a+1)(0+a+1)0,解得a10或a10或a0,因此不等式组对应的平面区域是以点(0,0),(0,2),和A为顶点的四边形及其内部,如图所示,平移直线y=x,当直线y=x+z在点A处时,取得最小值-8,即-=-8,k=.答案:5.(10分)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by的最大值为6,求+的最小值.【解析】由条件知x,y满足约束条件,画出可行域,如图所示,目标函数z=ax+by(a0,b0),则y=-x+.由图可得当过点A(3,4)
5、时z=ax+by的最大值为6,即3a+4b=6,则+=(3a+4b)=,当且仅当=时等号成立,满足题意,所以+的最小值为.【加练备选拔高】设变量x,y满足线性约束条件若z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,求实数a的值.【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(包括边界)所示,若a0,z=x+ay可化为y=-x+z,因为-0,所以只需y=-x和直线x+y-2=0平行,此时目标函数y=-x+z取得最大值时的最优解不唯一,可得a=1;若a0,0,所以只需y=-x和直线x-2y+1=0平行,此时目标函数z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,可得a=-2;若a=0,则z=x,此时z取得最大值的最优解只有一个,不符合题意.综上,a=1或a=-2.
