2022版高中数学一轮复习 课时作业梯级练七十四 坐标系课时作业（理含解析）新人教A版.doc

1、课时作业梯级练七十四坐标系1.在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+y2=1.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2cos .(1)求C1,C2交点的直角坐标;(2)设点A的极坐标为 ,点B是曲线C2上的点,求AOB面积的最大值.【解析】(1)C1:x2+y2=1,C2:=2cos ,则2=2cos ,所以x2+y2=2x.联立,得 解得 或 所以C1,C2交点的直角坐标为 , .(2)设B(,),则=2cos ,所以AOB的面积S= |OA|OB|sin AOB= = = ,所以当= 时,Smax=2+ .2.在极坐标系中,已知圆O:=cos +s

2、in 和直线l:sin = .(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.【解析】(1)由=cos +sin ,得2=cos +sin ,把 代入2=cos +sin ,得圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.由直线l:sin = ,得sin -cos =1,因为 所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由 解得 进而,由 得 因为(0,),所以= ,故直线l与圆O的公共点的极坐标为 .3.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,

3、P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设点(x1,y1)为圆上的点,变换后为曲线C上的点(x,y),依题意,得 由 + =1,得x2+ =1,即曲线C的方程为x2+ =1.(2)由 解得 或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为 ,所求直线的斜率k= ,于是所求的直线方程为y-1= ,化为极坐标方程并整理,得2cos -4sin +3=0.4.在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0= 时,求0及l

4、的极坐标方程.(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.【解析】(1)因为M 在C上,当0= 时,0=4sin =2 .由已知得|OP|=|OA|cos =2.设Q(,)为l上除点P外的任意一点.在RtOPQ中,cos =|OP|=2,经检验,点P 在曲线cos =2上.所以,l的极坐标方程为cos =2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是 .所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos , .5.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数,为l的倾斜角),以原点

5、O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线E的极坐标方程为=4sin ,直线=,=+ ,=- (R)与曲线E分别交于不同于极点O的三点A,B,C.(1)若 ,求证:|OB|+|OC|=|OA|;(2)当= 时,直线l过B,C两点,求y0与的值.【解析】(1)依题意,|OA|=|4sin |,|OB|= ,|OC|= ,所以 0),M的极坐标为(0,)(00),由题设知|OP|=,|OM|=0,由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0),因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是O

6、AB的面积S=|OA|Bsin AOB=4cos =2 2+ ,当=- 时,S取得最大值2+ .所以OAB面积的最大值为2+ .8.(2021黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|OP|=4,动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程.(2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求AOB面积的最大值.【解析】(1)设P的极坐标为(,)(0),Q的极坐标为(1,)(10),由题意知|OP|=,|OQ|=1= .由|OQ|OP|=4得C2的极坐标方程为=2cos (0),化简得= cos +sin ,因此C2的直角坐标方程为 + =1,但不包括点(0,0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题意知,|OA|=2,B=2cos ,于是AOB的面积S= |OA|BsinAOB=2cos =2 .当=0时,S取得最大值 .所以AOB面积的最大值为 .