2023版高考数学一轮总复习 应用创新题组 4.docx

1、4.2三角恒等变换应用篇知行合一应用三角函数在实际问题中的应用1.(2022届北大附中10月月考,10)如图所示,有一半径为10米的水轮,水轮的圆心与水面的距离为6米,若水轮每分钟逆时针转4圈,且水轮上的点P在t=0时刚刚从水中浮现,则5秒钟后点P与水面的距离是(结果精确到0.1米)()A.9.3米B.9.9米C.15.3米D.15.9米答案D设AOP=,易知sin=45,cos=35,由于sin=4532,所以60,5秒钟后点P旋转的角度为5604360=120,则+120180,此时点P与水面的距离是10sin(120+-90)+6=10sin(30+)+6=10(sin30cos+cos

2、30sin)+6=9+4315.9(米).故选D.2.(2022届重庆巴蜀中学月考实际生活)在足球比赛中,球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的,射点对球门的张角越大,射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图,设球场长AB=a,宽BC=b,球门长PQ=m.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线AB上点M处射门,为使得张角PMQ最大,则AM=()A.a2-bmB.b2-m22C.b+m2D.a2-b2+m2答案B设AM=x,则tanAMP=APAM=b-m2x,tanAMQ=AQAM=b+m2x,所以tanPMQ=b+m2x-b-m2x1+b2-m24x2=2m2x+b2

3、-m22x,因为2x+b2-m22x2b2-m2,当且仅当2x=b2-m22x,即x=b2-m22时等号成立,所以当x=b2-m22时,tanPMQ有最大值,由正切函数的单调性知,此时张角PMQ最大.故选B.3.(2022届海淀期中,10)如图,A是轮子外边沿上的一点,轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动,则当滚动的水平距离为2.2m时,下列描述正确的是()(参考数据:721.991)A.点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15mB.点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.15mC.点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.26mD.点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.04m答案A

4、轮子的周长为20.3=0.6m,当滚动的水平距离为0.7m2.2m时,轮子转动了1+16个周期,所以点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.3-0.3cos3=0.15m,故选A.4.(2021山东日照模拟,13数学文化)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割比约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18.若m2+n=4,则m+nsin63=.答案22解析因为m=2sin18,m2+n=4,所以n=4-m2=4-4sin218=4cos218,所以m+nsin63=2sin18+2cos18sin63=22sin(18+45)sin63=22

5、.5.(2022届河南六市联考,20实际生活)某市为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神,大力开展“青山绿水”工程,造福于民.为此,当地政府决定将一块扇形荒地改造成市民休闲中心,如图,扇形OAB的半径为200m,圆心角AOB=23.(1)如图1,将扇形的内切圆E及内部区域作为市民健身活动场所,其余区域种植各种花草,改造为景观绿地,求内切圆的半径r;(2)如图2,扇形内有一矩形MNOP(边OP在半径OA上,点M在AB上)区域为市民健身活动场所,其余区域种植各种花草,改造为景观绿地,设MOA=,求市民健身活动场所(矩形MNOP区域)面积的最大值.解析(1)连接OE并延长交AB于点C,设OA与圆E相切于点D,连接ED.如图,由题设知EC=ED=rm,OE=(200-r)m,EOD=3,所以在RtODE中,ED=OEsin3,即r=32(200-r),解得r=4003-600.(2) 在RtOPM中,OP=OMcos=200cos,MP=OMsin=200sin,所以S矩形MNOP=OPMP=40000sincos=20000sin2,故当2=2,即=4时,市民健身活动场所(矩形MNOP区域)的面积最大,最大值为20000m2.