1、6.1数列的概念及表示一、选择题1.(2022届河南焦作月考,5)数列-1,85,-157,249,的一个通项公式是an=()A.(-1)nn(n+2)2n+1B.(-1)nn2+32n-1C.(-1)n(n+1)2-12n-1D.(-1)nn2+n2n+1答案A数列-1,85,-157,249,即-133,245,-357,469,故它的一个通项公式是an=(-1)nn(n+2)2n+1,故选A.2.(2021吉林二中模拟,4)已知数列an的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.不是数列中的任何一项答案C设-8是第n项,因为数列an的通项公式为
2、an=n2-n-50,所以令n2-n-50=-8,解得n=7或n=-6(舍去),所以-8是该数列的第7项.3.(2022届北京三中期中,9)已知数列an的通项公式为an=n+an,则“a2a1”是“数列an单调递增”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C由数列an单调递增可得an+1an,所以n+1+an+1n+an,整理得an2+n,nN*,aa1可得2+a21+a,故aa1”是“数列an单调递增”的充要条件.故选C.4.(2022届昆明模拟,4)“中国剩余定理”又称“孙子定理”,讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题:在1到20
3、20这2020个数中,将能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则此数列的项数为()A.167B.168C.169D.170答案C由题意得,能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数,所以an=12n-11,nN*,由an2020,得12n-112020,所以n203112=169+14,又nN*,所以此数列的项数为169.故选C.5.(2021新高考联盟模拟,6)设数列an的前n项和为Sn,若a1=1,Sn+1=2Sn+1,则S7=()A.63B.127C.128D.256答案B在Sn+1=2Sn+1中,令n=1,得S2=3,所以a2=2.由Sn+1=2S
4、n+1得Sn+2=2Sn+1+1,两式相减得an+2=2an+1,即an+2an+1=2.又a1=1,a2a1=2,所以数列an是以1为首项,2为公比的等比数列,所以S7=1-271-2=127.故选B.6.(2022届新高考联盟月考,6)已知数列an中,a2=4,am+n=am+an,则a11+a12+a13+a19=()A.95B.145C.270D.520答案C在am+n=am+an中,令m=1,可得an+1=an+a1,则an+1-an=a1,所以数列an为等差数列,且该数列的首项和公差均为a1,因为a2=2a1=4,所以a1=2,所以an=2+2(n-1)=2n,则a15=215=3
5、0,因此a11+a12+a13+a19=9(a11+a19)2=92a152=9a15=270,故选C.7.(2022届吉林一调,9)若数列an满足an+an+1+an+2=2022(nN*),a1=2,a2=3,则a2022=()A.2022B.2017C.3D.2答案B当n=1时,a1+a2+a3=2022;当n=2时,a2+a3+a4=2022,故a1=a4=2;当n=3时,a3+a4+a5=2022,故a2=a5=3;当n=4时,a4+a5+a6=2022,故a3=a6.依次类推,可得到an是以3为周期的数列.又a1+a2+a3=2022,a1=2,a2=3,a3=2017.故a202
6、2=a3=2017,故选B.二、填空题8.(2022届湖北新高考协作体联考,15)已知数列an的首项a1=2,其前n项和为Sn,若Sn+1=2Sn+1,则a7=.答案96解析因为Sn+1=2Sn+1,所以Sn=2Sn-1+1(n2),两式相减得an+1=2an(n2),又因为a1=2,S2=a1+a2=2a1+1,得a2=3,所以数列an从第二项开始成等比数列,因此其通项公式为an=2,n=1,32n-2,n2,所以a7=325=96.9.(2022届江苏泰州中学检测)在数列an中,a1=3,3a1a2+3a2a3+3anan+1=1+12+13+1n+n2(nN*),则an=,若an4n对所
7、有nN*恒成立,则的取值范围是.答案6nn(n+1);32081,+解析由于3a1a2+3a2a3+3anan+1=1+12+13+1n+n2(nN*),所以当n2时,有3a1a2+3a2a3+3an-1an=1+12+13+1n-1+n-12,两式相减可得3anan+1=1n+12=n+22n,即当n2时,an+1an=6nn+2,当n=1时,求得a2=6,即a2a1=2也符合该递推关系,所以an=anan-1an-1an-2a2a1a1=6nn(n+1).由于an4n23nn(n+1),令cn=23nn(n+1),cn+1cn=23n+1(n+1)(n+2)23nn(n+1)=2n+43n
8、=23+43n,易知当n=4时,有c4=c5,当n4时,数列cn逐项递减,所以c1c2c3c6,故数列cn的最大项为c4=c5=32081,即32081.10.(2022届广东开学质量检测)将图(1)的正三角形的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后去掉底边,得到图(2);将图(2)的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后去掉底边,得到图(3);依此类推,将图(n)的每条边三等分,并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形,然后去掉底边,得到图(n+1).上述作图过程不断地进行下去,得到的曲线就是美丽的雪花曲线.若图(1)中正三角形的边长为1,则图(n
9、)的周长为,图(n)的面积为.答案343n-1;235-332049n-1解析图(n)中1条边变为图(n+1)中的4条边,长度变为原来的13,故图(n)共有34n-1条边,每条边的长度均为13n-1.因此,图(n)的周长为343n-1.设图(n)的面积为Sn,图(n)变为图(n+1)时,每条边上多了一个面积为3413n2的正三角形,故Sn+1=Sn+34n-13413n2=Sn+331649n.又S1=34,因此由累加法得Sn=S1+3316k=1n-149k=34+3316491-49n-11-49=235-332049n-1.11.(2022届重庆西南大学附属中学开学考,16)设数列an满
10、足a1=2,a2=6,a3=12,数列an的前n项和为Sn,且Sn+2-Sn-1+1Sn+1-Sn+1=3(nN*且n2).若x表示不超过x的最大整数,bn=(n+1)2an,数列bn的前n项和为Tn,则T2022的值为.答案2023解析当n2时,Sn+2-Sn-1+1Sn+1-Sn+1=3,an+2+an+1+an+1an+1+1=3,an+2-2an+1+an=2,an+2-an+1-(an+1-an)=2,an+1-an从第2项起是等差数列.又a1=2,a2=6,a3=12,(a3-a2)-(a2-a1)=2,an+1-an=4+2(n-1)=2n+2(nN*),当n2时,an=(an-
11、an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n+2(n-1)+22+2=2n(n+1)2=n(n+1),又a1=2也适合上式,an=n(n+1)(nN*).(n+1)2an=n+1n,当n2时,bn=(n+1)2an=n+1n=1.又b1=(1+1)2a1=2,T2022=22a1+32a2+20232a2022=2+2021=2023.三、解答题12.(2022届四川绵阳诊断(一),18)已知Sn是数列an的前n项和,Sn=2an-2.(1)求数列an的通项公式;(2)求a1a2-a2a3+(-1)n+1anan+1.解析(1)当n=1时,S1=2a1-2=a1,解得a1=2
12、.Sn=2an-2,当n2时,Sn-1=2an-1-2.-得an=2an-1(n2),数列an是首项为2,公比为2的等比数列,an=2n.(2)由(1)得anan+1=24n,a1a2-a2a3+(-1)n+1anan+1=24-42+(-1)n+14n=851-(-4)n.13.(2022届广东调研)已知数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=3n-1.(1)求数列an的通项公式;(2)若cn=an+log3an,求c1+c2+cn的值.解析(1)当n=1时,a1=S1=3-12=1,当n2时,2Sn-1=3n-1-1,所以2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,所以an=3n-1(nN*,n2),又a1=1符合上式,所以an=3n-1(nN*).(2)由(1)可得cn=3n-1+n-1,所以c1+c2+cn=1(1-3n)1-3+(n-1)n2=3n+n2-n-12.
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