1、2.1函数及其性质一、选择题1.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R的是()A.y=1xB.y=1+1xC.y=x+1xD.y=x-1x答案D对于函数y=1x,因为x0,所以y0,故它的值域不是R,所以A不满足题意;对于函数y=1+1x,因为x0,所以y1,故它的值域不是R,所以B不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-,-22,+),所以C不满足题意;对于函数y=x-1x=x2-1x,可得关于x的方程x2-yx-1=0有解,=y2+40,y可以取任意实数,即yR,故D满足条件.故选D.2.(2022届北京一七一中学10月月考,7)存在函数f(
2、x)满足:对任意xR都有()A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案DA选项,取x=0,可知f(sin0)=sin0,即f(0)=0,再取x=2,可知f(sin)=sin2,即f(0)=1,矛盾,A错误;同理可知B错误;C选项,取x=1,可知f(2)=2,再取x=-1,可知f(2)=0,矛盾,C错误.故选D.3.(2022届黑龙江适应性测试,2)托马斯说:“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断,下列对应关系是从集合M=-1,2,4到集合N=1,2,4,16的函数的是()A.y=2xB.y=x+2C.y
3、=x2D.y=2x答案CA.当x=-1时,y=2x=-2,集合N中没有对应值,不满足条件.B.当x=4时,y=x+2=6,集合N中没有对应值,不满足条件.C中函数满足条件.D.当x=-1时,y=12,集合N中没有对应值,不满足条件.故选C.4.(2022届西安期中,4)下列各图中,一定不是函数图象的是()答案A对于A选项,由图可知,存在一个x同时有两个y值与之对应,A选项中的图不是函数图象;对于B选项,由图可知,对于每个x,有唯一的y值与之对应,B选项中的图是函数图象,同理可知CD选项中的图是函数图象,故选A.5.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)=12x,x0,x-2,x0
4、,设f(1)=a,则f(a)=()A.2B.12C.-12D.-32答案A因为f(x)=12x,x0,x-2,x0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=12-1=2.6.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log9(1-x),x0,f(x-10),x0,则f(2018)=()A.12B.-12C.-1D.1答案Af(x)=log9(1-x),x0,f(x-10),x0,f(2018)=f(2008)=f(1998)=f(8)=f(-2),f(2018)=log93=12.故选A.7.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=
5、1x+4x在1,2)上的值域是()A.5,172B.4,172C.0,172D.5,+)答案A因为f(x)=-1x2+4=(2x+1)(2x-1)x2,所以当x1,2)时,f(x)0,f(x)是增函数,所以f(1)f(x)f(2),即5f(x)172.故选A.8.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)()A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案Af(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,函数f(x)为奇函数,f(x)=x|x|=x2,x0,
6、-x2,x0,函数f(x)为增函数,故选A.9.(2022届北京市育英中学10月月考,2)下列函数中,在区间(0,+)上不是单调函数的是()A.y=1xB.y=(x+1)2C.y=12x+x+1D.y=|x-1|答案DA选项,y=1x在(0,+)上单调递减.B选项,y=(x+1)2在(0,+)上单调递增.C选项,y=12x+x+1=12(x)2+x+1,在(0,+)上单调递增.D选项,y=|x-1|=x-1,x1,1-x,x0,则()A.f(log123.1)f(log23)=f32B.f(log23)f(log123.1)f32C.f32f(log123.1)f(log23)D.f32f(l
7、og23)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以f(log123.1)=f(-log23.1)=f(log23.1),又因为232=22,所以23233.1,而y=log2x在(0,+)上单调递增,所以32log23log23.1,故f32f(log23)f(log23.1),即f32f(log23)f(log123.1),故选D.11.(2022届四川广元质检(二),9)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x)+f(4-x)=0,当x-2,0时,f(x)=-x2+4,则f(11)=()A.-117B.117C.3D.-3答案D
8、f(-x)=f(x),且f(x)+f(4-x)=0,f(4+x)=-f(-x)=-f(x),即f(8+x)=f(x),f(x)是以8为周期的偶函数,又当x-2,0时,f(x)=-x2+4,f(11)=f(3)=-f(1)=-f(-1)=-(-1)2+4=-3.故选D.12.(2022届合肥联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,xR,恒有f(x+4)=-f(x),且当x-2,0)时,f(x)=-x-1,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2020)+f(2021)=()A.1B.-1C.0D.2答案B因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的
9、周期是8.因为f(0)=0,f(2)=-f(-2)=-1,f(3)=-f(-1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(1)=-f(-3)=f(3)=0,f(5)=-f(1)=0,f(6)=-f(2)=1,f(7)=-f(3)=0,f(8)=-f(4)=0,又f(x)是周期为8的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)+f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)=f
10、(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+0+(-1)+0+0+0=-1.所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2020)+f(2021)=-1.故选B.13.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(11月),7)已知定义域为R的奇函数f(x)满足:f(x)=f(2-x),且当x0,1时,f(x)=ax+b,若f(-1)=2,则f(-1.5)=()A.-1B.-1.5C.1D.1.5答案C由题意,f(0)=b=0,且f(1)=a+b=-f(-1)=-2,所以a=-2,所以当x0,1时,f(x)=-2x,因为f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x)
11、,所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的函数,所以f(-1.5)=f(2.5)=-f(0.5)=-(-20.5)=1.14.(2022届河北保定重点高中月考,12)已知定义在R上的函数f(x),g(x),其中函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在0,+)上单调递减,函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x)且在(1,+)上单调递减,设函数F(x)=12f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|,则对任意xR,均有()A.F(1-x)F(1+x)B.F(1-x)F(1+x)C.F(1-x2)F(1+x2)D.F(1-x2)F(1+x2)答案C根据题意,函数f(
12、x)满足f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,又由f(x)在0,+)上单调递减,且|1-x2|1+x2|,得f(1-x2)f(1+x2).函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),即g(x)的图象关于直线x=1对称,则g(1-x2)=g(1+x2),又由F(x)=12f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|=f(x), f(x)g(x),g(x), f(x)g(x),则F(x)的示意图可表示为图中实线部分,所以有F(1-x2)F(1+x2).故选C.二、填空题15.(2022届福建永安三中10月月考,13)设函数f(x)=1+log2(2-x),x1,2x,x1,则f(-2)+f(lo
13、g26)=.答案9解析f(-2)=1+log24=3,f(log26)=2log26=6,f(-2)+f(log26)=3+6=9.16.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)=13x3-ax+1,0x0,当x1时,f(x)=alnxf(1),当0x1时,f(x)=13x3-ax+1,f(x)=x2-a.(1)若a1,则f(x)0,f(x)单调递减,f(x)f(1)成立,则13-a+10,解得a43,1a43,(2)若0a1,则当0xa时,f(x)0,f(x)单调递减,当ax0,f(x)单调递增,因此x=a时,f(x)min=f(a)=13(a)3-(a)3+1=-23a32+1
14、,所以-23a32+10,显然成立,0a0)的最小值为2a;已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数;定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)=0;已知函数f(x)=x3,若a+b0,则f(a)+f(b)0.答案解析当a=0时,f(x)=x(x0)无最小值,故错误;因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的周期为4,所以f(-x)=f(-x+4)=f(4-(-x+4)=f(x),故函数f(x)一定为偶函数,故正确;因为f(x)是定义在R上的奇函数,又是以2
15、为周期的周期函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),f(-1)=f(-1+2)=f(1),故f(1)=0,又f(4)=f(0+22)=f(0)=0,f(7)=f(1+23)=f(1)=0,所以f(1)+f(4)+f(7)=0,故正确;f(x)=x3为奇函数,且在R上单调递增,若a+b0,则a-b,有f(a)f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)0,故正确.19.(2022届山东鱼台一中月考,16)定义在R上的函数f(x)=x+a+sinx,若f(x+)是奇函数,则a=;满足f(x)-0的x的取值范围是.答案-;(2,+)解析f(x+)=x+a-sinx,因为f(x+)是奇函数,
16、则+a=0,即a=-,f(x)=x-+sinx,因为f(x)=1+cosx0,则f(x)递增,又f(2)=,则f(x)-0f(x)f(x)f(2)x2.三、解答题20.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,bR且a0,函数f(x)=4x+b4x-a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)对任意x(0,+),不等式mf(x)-fx20恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x+4-x)=0恒成立,b-a=0,2-2ab=0,又a0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-fx20m1+24x-1-1+24x2-1
17、0对任意x(0,+)恒成立,令2x=t(t1),则mt+1t-1t2+1t2-1=(t+1)2t2+1=t2+1+2tt2+1=1+2tt2+1=1+2t+1t对t1恒成立,y=2t+1t在(1,+)上单调递减,y=1+2t+1t0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)3.解析(1)当x0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=x2+2x,且f(0)=0,综上,f(x)=-x2+2x,x0,0,x=0,x2+2x,x0时,-x2+2x0,解得xR,所以x0;当x=0时,03显然成立,所以x=0;当x0时,x2+2x3,得-3x0.综上,不等式的解集为(-3,+).
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