1、专题十五不等式选讲解答题1.(2022届四川期中,23)已知函数f(x)=|x+a|+x-2a,且a为非零常数.(1)当a=1时,求f(x)7的解集;(2)当a0时,求证:f(x)22.解析(1)因为a=1,所以f(x)=|x+a|+x-2a=|x+1|+|x-2|=1-2x,x-1,3,-1x2,2x-1,x2,当x-1时,1-2x7,所以-3x-1;当-1x2时,37恒成立,所以-1x2;当x2时,2x-17,所以2x4.综上所述,当a=1时,f(x)7的解集是x|-3x4.(2)证明:|x+a|+x-2ax+a-x+2a=a+2a,因为a0,-2a0,所以a+2a=-a+2a=(-a)+
2、-2a22(当且仅当a=-2时取等号).2.(2022届长春质检,23)已知函数f(x)=|x-2|+|x-a|.(1)当a=3时,求不等式f(x)5的解集;(2)若x1,2,f(x)|x-4|,求实数a的取值范围.解析(1)当a=3时,f(x)=5-2x,x2,1,2x5等价于5-2x5,x2或2x-55,x3或15,2x3,解得x5,所以不等式的解集为x|x5.(2)x1,2,f(x)|x-4|等价于2-x+|x-a|4-x,等价于x1,2,|x-a|2,即x1,2,a-1或a4,从而实数a的取值范围是a|a-1或a4.3.(2022届河南焦作模拟,23)设函数f(x)=|x-1|-|2x
3、+1|.(1)解不等式:f(x)-2;(2)设f(x)的最大值为m,关于x的不等式x2-ax+20在13,m上恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)当x-12时,1-x-(2x+1)-2,解得x-4,所以-4x-12.当-12x1时,1-x-2x-1-2,解得x23,所以-121时,x-1-2x-1-2,解得x0,所以无解.综上,原不等式的解集为x-4x23.(2)f(x)=x+2,x-12,-3x,-121,f(x)max=f-12=32=m,x2-ax+20在x13,32时恒成立等价于ax+2x在x13,32时恒成立.又x+2x2x2x=22(当且仅当x=2时等号成立),a的取值范围是(-
4、,22).4.(2022届吉林顶级名校期中,23)已知函数f(x)=|2x+1|-|x|.(1)解不等式f(x)0;(2)若存在实数x,使得f(x)|x|+a,求实数a的取值范围.解析(1)当x-12时,-1-2x+x0x-1,所以x-1;当-12x0时,2x+1+x0x-13,所以-13x0;当x0时,2x+1-x0x-1,所以x0.综上,不等式的解集为(-,-1-13,+.(2)f(x)|x|+a即|2x+1|-2|x|a,x+12-|x|a2,由已知得a2x+12-|x|min,又x+12-|x|12,即-12x+12-|x|12,a2-12,即a-1.故实数a的取值范围是-1,+).5
5、.(2022届四川绵阳质检,23)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3f(x)3;(2)求不等式f(x)x2-8x+15的解集.解析(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=-3,x2,2x-7,2x5,3,x5.当2x5时,-32x-73.所以-3f(x)3.(2)当x2时,f(x)x2-8x+15即x2-8x+15-3,其解集为空集;当2x5时,f(x)x2-8x+15即x2-8x+152x-7,所以5-3x5,故解集为x|5-3x5;当x5时,f(x)x2-8x+15即x2-8x+153,所以5x6,故解集为x|5x6.综上,f(x)x2-8x+15的解集为x|
6、5-3x6.6.(2022届江西六校联考,23)设函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.(1)求不等式f(x)9的解集;(2)设f(x)的最小值为m,正数a、b、c满足a+b+c=m,求证:b2a+c2b+a2c3.解析(1)f(x)=2|x-1|+|x+2|=-3x,x-2,-x+4,-2x1,3x,x1,当x-2时,由f(x)9,得-3x9,解得x-3,此时-3x-2;当-2x1时,由f(x)9,得-x+49,解得x-5,此时-2x1;当x1时,由f(x)9,得3x9,解得x3,此时1x3.综上,不等式f(x)9的解集为-3,3.(2)证明:由(1)可知当x-2时,f(x)=-3x6;当
7、-2x1时,f(x)=-x+4(3,6);当x1时,f(x)=3x3.函数f(x)的最小值m=3,则a+b+c=3.a,b,c均为正数,b2a+a2b,c2b+b2c,a2c+c2a,当且仅当a=b=c=1时等号成立,b2a+c2b+a2c+a+b+c2(a+b+c),b2a+c2b+a2ca+b+c=3,得证.7.(2022届四川名校联盟,23)已知函数f(x)=4x2+4mx+m2+2|x-1|.(1)若m=2,求不等式f(x)6的解集;(2)若存在x0R,使不等式f(x0)m2成立,求实数m的取值范围.解析(1)若m=2,则f(x)=|2x+2|+|2x-2|,即f(x)=-4x,x-1
8、,4,-1x1,4x,x1,当x-1时,-4x6,则-32x-1;当-1x1时,46恒成立,则-1x1;当x1时,4x6,则1x32.综上,当m=2时,不等式f(x)6的解集为x-32x32.(2)f(x)=4x2+4mx+m2+2|x-1|=|2x+m|+|2x-2|,存在x0R,使不等式f(x0)m2成立,只需要f(x)minm2,|2x+m|+|2x-2|(2x+m)-(2x-2)|,即f(x)|m+2|,等号成立的条件为(2x+m)(2x-2)0,m2|m+2|.当m-2时,m2m+2,即(m-2)(m+1)0,m2或-2m-1;当m-2时,m2-(m+2),即m2+m+20,m-2.
9、故实数m的取值范围是(-,-12,+).8.(2022届四川资阳一诊,23)已知函数f(x)=2|x-1|+|x+2|.(1)解不等式f(x)6-x;(2)设f(x)的最小值为M,实数a,b满足a+2b=M,求证:a2+b2+2b4.解析(1)当x-2时,f(x)=-2x+2-x-2=-3x6-x,得-3x1时,f(x)=2x-2+x+2=3x6-x,得1x32.综上所述,原不等式的解集为x-3x32.(2)证明:由(1)可知,x6;-2x1时,f(x)=-x+43;x1时,f(x)=3x3,所以函数f(x)的最小值M=3,则a+2b=3.所以a2+b2+2b=(3-2b)2+b2+2b=5b
10、2-10b+9=5(b-1)2+44,当且仅当a=1,b=1时取“=”.9.(2021黑龙江齐齐哈尔二模,23)已知a,b,c都为正实数,且a+b+c=3.证明:(1)2a+1+2b+1+2c+133;(2)1a-131b-131c-13827.证明(1)(2a+1+2b+1+2c+1)2=2(a+b+c)+3+2(2a+1)(2b+1)+2(2b+1)(2c+1)+2(2c+1)(2a+1)2(a+b+c)+3+(2a+1+2b+1)+(2b+1+2c+1)+(2c+1+2a+1)=6(a+b+c)+9=27(当且仅当a=b=c=1时取“=”).所以2a+1+2b+1+2c+133.(2)由
11、a,b,c都为正实数,且a+b+c=3,可得1a-131b-131c-13=a+b+c3a-13a+b+c3b-13a+b+c3c-13=b+c3aa+c3ba+b3c1272bca2acb2abc=827(当且仅当a=b=c=1时取“=”).则1a-131b-131c-13827.10.(2022届云南适应性考试,23)已知函数f(x)=|x2-3x|+|x|.(1)求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)=|x2-2x|,求x的取值范围.解析(1)f(x)=x2-2x,x3,4x-x2,0x3,x2-4x,x0,当x3时,x2-2x3,解得x3或x-1,所以x3;当0x3时,4x-x23
12、,解得1x3,所以1x9的解集;(2)若不等式f(x)2m+3m对任意xR恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)不等式f(x)9可化为|4x-1|+4|x+1|9,所以x14,4x-1+4(x+1)9或-1x9或x-1,-(4x-1)-4(x+1)9,解得x34或x或x9的解集为-,-3234,+.(2)因为f(x)=|4x-1|+4|x+1|=|4x-1|+|4x+4|4x-1-4x-4|=5,当且仅当-1x14时等号成立,所以52m+3m,令g(m)=2m+3m,则g(m)为R上的增函数,且g(1)=5,所以m2,x+1,12x2,-3x+3,x2或x+13,12x2或-3x+33,x0,
13、y0,所以|x+2y|+|x-y|520x1,|2-x|+|2x-1|520x1,|2x-1|12+x0x1,-12+x2x-112+x,解得16x0,y0,所以42x+y+1y=12(2x+y)+y42x+y+1y=125+2x+yy+4y2x+y125+22x+yy4y2x+y=92,当且仅当2x+yy=4y2x+y,即x=13,y=23时,等号成立.14.(2022届河南洛阳调研,23)已知a0,b0,a2+b2=8.(1)求证:a+b4;(2)求证:1a2+9b22.证明(1)(a+b)2=a2+2ab+b2a2+a2+b2+b2=2(a2+b2)=16,当且仅当a=b=2时,等号成立,a+b4.(2)a0,b0,a2+b2=8,1a2+9b2=88a2+988b2=a2+b28a2+9(a2+b2)8b2=18+b28a2+98+9a28b254+2b28a29a28b2=54+34=2(当且仅当a=2,b=6时,等号成立).
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