1、第二章检测(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为 s 则 时的瞬时速度为 A.5B.25C.125D.625解析:由已知,得 v=s=t3,所以 t=5 时的瞬时速度为 125.答案:C2.若函数 f(x)的导数为 f(x)=-2x2+1,则 f(x)可以等于()A.-2x3+1B.x+1C.-4xD.解析:选项 A 中函数的导数为 f(x)=-6x2;选项 B 中函数的导数为 f(x)=1;选项 C 中函数的导数为 f(x)=-4;选项 D 中函数的导数为
2、 f(x)=-2x2+1.答案:D3.若 f(x0)=-3,则 -等于 A.-3B.-6C.-9D.-12解析:-答案:D4.若 f(x)=log3(2x-1),则 f(3)等于()A C 解析:f(x)-答案:D5.若某汽车的路程函数是s(t)=2t3 则当 时 汽车的加速度是 A.14 m/s2B.4 m/s2C.10 m/s2D.-4 m/s2解析:v(t)=s(t)=6t2-gt,v(t)=12t-g,v(2)=122-10=14(m/s2).答案:A6.与直线 4x-y+14=0 平行的抛物线 y=f(x)=x2的切线方程是()A.4x-y+3=0B.4x-y-3=0C.4x-y-4
3、=0D.4x-y+4=0解析:y=f(x)=2x,设切点坐标为(x0,y0),由 2x0=4,得 x0=2,则 y0=22=4,所以与直线 4x-y+14=0 平行的抛物线的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0,故选 C.答案:C7.函数 y=f(x)的图像过原点且它的导函数 y=f(x)的图像是如图所示的一条直线,则y=f(x)的图像的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:显然 y=f(x)为二次函数,设为 f(x)=ax2+bx+c(a0),则 y=f(x)=2ax+b.由题图,知a0.又由已知函数的图像过原点,所以 c=0,顶点在 f(x)=0
4、 时取到,得顶点为(-)综上所述,y=f(x)的顶点在第一象限.答案:A8.若函数 f(x)在 处的导数值与函数值互为相反数 则 A.等于 0B.等于 1C.等于 不存在解析:f(x)-当 x=x0时,f(x0)-由题意,知 f(x0)+f(x0)=0,即 x0=0,所以 x0 答案:C9.若函数 f(x)=excos x,则此函数图像在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为()A.0B.锐角C 钝角解析:f(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x),函数图像在 x=1 处的切线的斜率 k=f(1)=e(cos 1-sin 1)0 时,设函数为 y=f(x),那么当 x
5、0,则函数为 y=f(-x),所以 y=-f(-x),由已知,得 f(1)=1,当 x=-1 时,y=-f(-(-1)=-f(1)=-1,即切线的斜率为-1.答案:-116.已知函数 f(x)=x3-3ax(aR),若直线 x+y+m=0 对任意的 mR 都不是曲线 y=f(x)的切线,则 a 的取值范围为 .解析:由题意,得 f(x)=3x2-3a=-1 无解,即 3x2-3a+1=0 无解,故 3a-10,解得 a 答案:且 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)求下列函数的导数:(1)y=3x2+xcos x;(2)y=
6、(3x5-4x3)(4x5+3x3);(3)y (4)y 解:(1)y=(3x2+xcos x)=6x+cos x-xsin x.(2)y=(3x5-4x3)(4x5+3x3)=(12x10-7x8-12x6)=120 x9-56x7-72x5.(3)y()(4)y=x3 -x,y=3x2 -x+x-2(sin x)=3x2 -x+x-2cos x.18.(12 分)有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的函数为s=f(t)=5 -求函数在 时的导数 并解释它的实际意义 最终结果精确到 解:函数 s=5 -可以看作函数s=5 和x=25-9t
7、 的复合函数,其中 x 是中间变量.由导数公式,得 sx=-故由复合函数求导法则,得 f(t)=st=sxxt(-)(-9)-将 t 代入f(t),得 f()0.987(m/s).其实际意义为,当 t 时,梯子上端下滑的速度约为 0.987 m/s.19.(12 分)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,f(x)=2x2.(1)求 x0 时,f(x)的表达式.(2)令 g(x)=ln x,问是否存在 x0,使得 f(x),g(x)的图像在 x=x0处的切线互相平行?若存在,请求出 x0的值;若不存在,请说明理由.解:(1)当 x0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x
8、2.(2)存在 x0满足题意.若 f(x),g(x)的图像在 x=x0处的切线互相平行,则 f(x0)=g(x0),且 x00,故 f(x0)=4x0=g(x0)解得 x0=又 x00,故 x0 20.(12 分)已知曲线 C:y=f(x)=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 相切于点(x0,y0)(x00),求直线 l 的方程及切点的坐标.解:由 l 过原点,可知 k 0).点(x0,y0)在曲线 C 上,y0 又 y=f(x)=3x2-6x+2,f(x0)=0+2=k,即 3 -6x0+2=-3x0+2.解得 x0=0 或 x0=.x00,x0=,y0=()-3()+2
9、 =-.k=-.直线 l 的方程为 y=-x,切点坐标为(-).21.(12 分)已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1,C2 都相切,求直线 l 的方程.解:设 l 与 C1 相切于点 P(x1,),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2)2).对于 C1:y=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-=2x1(x-x1),即 y=2x1x-.对于 C2:y=-2(x-2),则与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即 y=-2(x2-2)x+-4.两条切线重合,2x1=-2(x2-2),且-=-
10、4.解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0.直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4.22.(12 分)设函数 f(x)=ax-,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 7x-4y-12=0.(1)求 f(x)的解析式;(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解由 7x-4y-12=0,得 y=x-3.当 x=2 时,y=,即 f(2)=.由题意,知 f(x)=a+,f(2)=,由,得 -解得 故 f(x)=x-.(2)证明设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=()(x-x0),即 y-(-)=()(x-x0).令 x=0,得 y=-,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(-).令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线在点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为|-|2x0|=6.故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.
