1、江西省莲花中学2020-2021学年高二数学下学期第一次周考试题 理一、 选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数z，则（ ）A. 1B. iC. 1D. i2.设M=3x2-x+1，N=2x2+x，则（）A. B. C. D. 3.函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. 4.已知复数，所对应的点分别是，那么向量对应的复数是( )A. B. C. D. 5.等于（ ）A. 0B. C. D. 26. 已知，则的最小值是（ ）A. 6B. 8C. 4D. 97.若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8.若点P是曲线上任一点，则点P
2、到直线的最小距离是（ ）A. B. 3C. D. 9.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A. B. C. D. 10.若f（x）2ax在（1，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )A. （，0B. （，0）C. 0，+）D. （0，+）11.已知函数，若方程有五个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12.若函数，在区间上任取三个实数a、b、c均存在以，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、 填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数 ，则_14.若正数x，y满足，则的最小值是_.15.若函数在区间0,2上不
3、单调，则实数a的取值范围为_.16.已知函数，下面四个结论：函数f(x)在其定义域上为增函数；对于任意的，都有；f(x)有且仅有两个零点；若在点处的切线也是的切线，则必是f(x)的零点，其中所有正确的结论序号是_.一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案二、 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16. 三.解答题（本大题共6小题，共70分，17题满分10分，其余满分12分）17.已知函数，且f(x)在处的切线为（1）求a的值；（2）求函数f(x)在区间3,3上的最大值和最小值18.设函数.（1）求不等式的解集
4、；（2）若方程有两个不等实数根，求a的取值范围.19.(12分)已知曲线C：和直线：围成封闭图形记为M，(1)求M的面积(2)若M绕x轴旋转一周，求由M围成的体积20.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数a的取值范围.21.已知函数，（1）若对任意的，都存在，使得，求实数m的取值范围；（2）若对于x，有，求证：22.设函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围试卷答案1.D【分析】利用复数的运算法则化简后，根据共轭复数概念得出结果.【详解】，,故选：D.2.A【分析】采用作差法即可求解【详解】M-N=3x2-x+1-2x2-x=x2-2x+
5、1=（x-1）20MN故选：A3.C【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积【详解】由图可得阴影部分的面积为，故选：C.4.C5.D，故答案为D.考点：定积分的计算.6.D【分析】利用基本不等式的换“1”法，得到，进而利用基本不等式求解即可【详解】则当且仅当，即时取等号故选:D.7.A【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围.【详解】函数，.则，因为在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，所以在区间上恒成立，所以，解得，故选：A.8.C【分析】与直线平行且与曲线相切时，切点到直线的距离最小，利用导数求出切点坐标即可.【详解】要使点
6、P到直线的最小距离，只需点为曲线与直线平行的切线切点，即点为斜率为1的切线的切点，设，解得或（舍去），点到直线的距离为，所以曲线上任一点到直线距离最小值为.故选：C.9.A试题分析：由题意时，递减，时，递增，因此，所以故选A考点：导数与函数的单调性10.D【分析】f(x)在(1,+)上存在单调递增区间,等价于0在(1,+)上有解.因此结合的单调性求出其在(1,+)上的最值,即可得出结论.【详解】f(x)2ax在(1,+)上存在单调递增区间,只需0在(1,+)上有解即可.由已知得,该函数开口向下,对称轴为,故在(1,+)上递减,所以=2a0,解得a0.故选:D.11.B【分析】由方程的解与函数图
7、象的交点问题得：方程f（x）f（x）有五个不同的实数根等价于yf（x）的图象与yg（x）的图象有5个交点，作图可知，只需yax与曲线ylnx在第一象限由两个交点即可，利用导数求切线方程得：设过原点的直线与ylnx切于点P（x0，y0），得lnx01，即f（e），即过原点的直线与ylnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，得解【详解】设g（x）f（x），则yg（x）的图象与yf（x）的图象关于原点对称，方程f（x）f（x）有五个不同的实数根等价于函数yf（x）的图象与yg（x）的图象有5个交点，由图可知，只需yax与曲线ylnx在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与ylnx切于点P
8、（x0，y0），由f（x），则ylnx的切线为ylnx0（xx0），又此直线过点（0，0），所以lnx01，所以x0e，即f（e），即过原点的直线与ylnx相切的直线方程为yx，即所求a的取值范围为0，故选B12.D【分析】利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D13.，而，表示半圆的面积，即，则.14.5【详解】试
9、题分析：，当且仅当，即时取等号考点：基本不等式15.【分析】函数在区间上不单调可以转化为导函数在区间内有解来解决【详解】解：，函数在区间上不单调，在内有解.故答案为：.16.【分析】利用特殊值法可判断的正误 ; 推导出当 时 从而可判断的正误；对函数，化简得，定义域为，利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可判断的正误; 利用导数的几何意义得到，进而可判断的正误.【详解】，所以，函数在其定义域上不是增函数，错；当时，则，正确；函数，化简得，定义域为，由函数单调性的性质，知函数在，单调递增； 即函数 在区间上有且仅有 1个零点 所以，函数区间上有且仅有1个零点.因此，函数有且仅
10、有两个零点，正确；在点 处的切线的方程 ，即，又也是的切线, 设切点为，则，即，则且，化简得，则,则，故必是函数的零点，正确；故答案为：.17.（1）；（2），.【分析】（1）结合导数的几何意义及已知切线方程可求a，（2）结合导数与单调性的关系可求函数的单调区间，进而可求最值【详解】（1）由已知，又在处的切线为，故，；（2）由，可得，解得，列表如下：，18.（1）；（2）.【分析】（1）函数写成分段函数的形式，分类讨论不等式的解集取并集即可；（2）方程有两个不等实数根等价于有两个不等实数根，利用基本不等式求出当x0时的范围，然后数形结合求出a的取值范围.【详解】（1），或，或，即，不等式的解集
11、为；（2）方程，即，显然不是方程的根，故，令，当x0时，当且仅当时取等号，作出的图象，如图所示：方程有两个不等实数根，由图象可知.19.20.（1）；（2）.【分析】（1）分、三段解不等式，进而可求得该不等式的解集；（2）由题意可知，利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值，可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，.当时，由得，解得，此时；当时，则不等式不成立；当时，由得，解得，此时.综上所述，当时，不等式的解集为；（2）由题意可知，由绝对值三角不等式,可得，即，由题意可得，即，又，所以.因此，实数的取值范围是.21.（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）若对任意
12、的，都存在，使得，设，则，即可求出实数m的取值范围；（2）要证，只需证，而，所以从已知条件出发只需证即可.【详解】（1）解：若对任意的，都存在，使得，设，则，因为，所以，所以，解得，所以实数m的取值范围为，（2）证明：因为，所以 可化为，因为，所以，所以，因，所以，所以原命题成立.22.（1）（2）【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为，最后根据点斜式求切线方程（2）构造函数，利用导数并按，进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果.试题解析：（1）根据题意可得， ，所以，即， 所以在点处的切线方程为，即（2）根据题意可得，在恒成立，令，所以， 当时，所以函数在上是单调递增，所以，所以不等式成立，即符合题意；当时，令，解得，令，解得，当时，所以在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，令，恒成立，则在单调递增所以，所以存在，所以不符合题意； 当时，在上恒成立，所以函数在上是单调递减，所以显然不符合题意；综上所述，的取值范围为- 18 -
