1、2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.4一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、已知，则 .2、已知集合，函数的定义域为集合，则= .3、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：成 绩人 数401150602213708090则总体标准差的点估计值是 .（精确到）4、若函数图像与函数的图像关于直线对称，则.5、若，其中都是实数，是虚数单位，则= .6、的二项展开式中，常数项的值是 .7、某学校要从5名男生
2、和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望=_.（结果用最简分数表示）8、已知数列的前项和，则数列的通项公式为 .9、函数的值域是 .10、如图：底面直径为2的圆柱被与底面成二面角的平面所截，截面是一个椭圆， 则此椭圆的焦距为 .11、在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于、 两点，则= .12、若函数（）满足，且时，函数，则函数在区间内的零点的个数为_.13、已知函数,在9行9列的矩阵中，第行第列的元素,则这个矩阵中所有数之和为_.14、如图，点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的平分线上一点，且.某同学用以下方法研究：延长交于点
3、，可知为等腰三角形，且为的中点，得.类似地：点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，是的平分线上一点，且，则的取值范围是 .二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、条件甲：函数满足；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的 （ ）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件16、设为坐标平面上三点，为坐标原点。若与在上的投影相同，则与满足的关系式为（ ）（A） （B） （C） （D）17、如果命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是正确的，则下列命题中正确的是
4、（ ）第18题图（A）曲线是方程的曲线；（B）方程的每一组解对应的点都在曲线上；（C）不满足方程的点不在曲线上；（D）方程是曲线的方程.18、若框图所给的程序运行的结果为，那么判断框中应填入的关于的 判断条件错误的是（ ）（A） （B） （C） （D）三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19、（本题满分12分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分.在中，角所对边的长分别为，且.（1）求的值；（2）求的值.20、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.EOABCDA1B1C1D1如图：在正方体中，是的
5、中点，是线段上一点，且.（1） 求证：；（2） 若平面平面,求的值.21、（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为。只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用。（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.22、（本题满分16分）第（1）小题满分
6、4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为. （1）求双曲线的方程；（2）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，求证：；（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，求的值.23、（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2）已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，求证：数列是
7、“兑换数列”，并用和表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.2011学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准（2012.4）一 填空题：1 2 3 4. 5. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二选择题： 15A 16B 17C 18D三解答题:19解：（1）由正弦定理,得-4分（2）由余弦定理，得-6分所以-7分故-9分所以-12分EOABCDA1B1C1D120解：（1）不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则-2分于
8、是：-4分因为,所以-5分故：-6分（2）由（1）可知平面的法向量取 -8分由，则-10分又设平面的法向量为由得，取得，即-12分因为平面平面，所以，得-14分21解： （1）-2分-4分综上，得-5分即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为-6分（2）当时，单调递增-8分当时，单调递减-9分所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即时，-12分故当且仅当时，有最大值。-14分22解：（1）设的坐标分别为-1分 因为点在双曲线上，所以，即，所以-2分在中，所以-3分由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为：-4分（2）当切线的斜率存在设，切线的方程为：
9、 代入双曲线中，化简得： 所以-6分因为直线与圆O相切，所以，代入上式，得-7分设点的坐标为，则所以-8分即成立当切线的斜率不存在时，此时，即成立-10分（3）由条件可知：两条渐近线分别为-11分设双曲线上的点，则点到两条渐近线的距离分别为 所以-13分因为在双曲线：上，所以 故-14分设的夹角为，则-15分所以-16分23解：（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”所以也是该数列的项，且-1分故-3分即。 -4分（2）设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列若，则即对数列中的任意一项-6分同理可得：若，也成立，由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-8分又因为数列所有项之和是，所以，即-10分（3）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，所以则又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，-12分则-14分若则有，又，由此得，与矛盾；-15分若。由，得即，故，与矛盾；-17分综合得，不存在满足条件的数列。-18分