1、专练 8 万有引力与航天 一、单项选择题1我国“北斗”卫星导航定位系统将由 5 颗静止轨道卫星(同步卫星)和 30 颗非静止轨道卫星组成，30 颗非静止轨道卫星中有 27 颗是中轨道卫星，中轨道卫星轨道高度约为 2.15104 km，静止轨道卫星的高度约为 3.60104 km，下列说法正确的是()A静止轨道卫星的运行周期大于中轨道卫星的运行周期B中轨道卫星的线速度大于 7.9 km/sC静止轨道卫星的线速度大于中轨道卫星的线速度D静止轨道卫星的向心加速度大于中轨道卫星的向心加速度解析 根据万有引力提供向心力可得，GMmr2 mamv2r m(2T)2r，所以 T42r3GM，vGMr，aGM
2、r2，由题意可知，中轨道卫星的半径小于静止轨道卫星的半径，与静止轨道卫星相比，中轨道卫星的周期小，线速度大，向心加速度大，故选项 A 正确，C、D 错误；7.9 km/s 是第一宇宙速度，即卫星绕地球转动的最大运行速度，故中轨道卫星的线速度小于 7.9 km/s，选项 B 错误答案 A2(2014甘肃第一次诊考)星系由很多绕中心做圆形轨道运行的恒星组成科学家研究星系的一种方法是测量恒星在星系中的运行速度 v 和离星系中心的距离 r.用 vrn 这样的关系来表达，科学家们特别关心指数 n.若作用于恒星的引力主要来自星系中心的巨型黑洞，则 n 的值为()A1 B2 C.12D12解析 恒星由受到的
3、万有引力提供向心力，则有 GMmr2 mv2r，可知，vGMr GMr12，所以 vr12，n 为12，故 D 项正确答案 D3(2014高考冲刺试卷三)科学家分析，随着地球上各地地震、海啸的不断发生，会导致地球的自转变快理论分析，下列说法正确的是()A“天宫一号”飞行器的高度要略调高一点B地球赤道上物体的重力会略变大C同步卫星的高度要略调低一点D地球的第一宇宙速度将略变小解析 地球的自转变快表明地球的自转周期变小，“天宫一号”飞行器的高度、地球的第一宇宙速度与地球的自转周期无关，A、D 错；地球赤道上物体的重力 mgGMmR2 m42T2 R 将变小，B 错；对于同步卫星：GMmr2 m42
4、T2 r，得 r3 GMT242，所以 C 正确答案 C4(2014河北唐山一模)2013 年 12 月 15 日 4 时 35 分，嫦娥三号着陆器与巡视器(“玉兔号”月球车)成功分离，巡视器顺利驶抵月球表面一同学设计实验来测定月球的第一宇宙速度：设想通过月球车上的装置在距离月球表面 h 高处平抛一个物体，抛出的初速度为 v0，测量出水平射程 L，已知月球的半径为 R，月球的第一宇宙速度为()A.v0LhRB.v0L2hRC.2v0LhRD.2v0L2hR解析 根据平抛运动的规律得，Lv0t，h12gt2，则 g2hv20L2，月球的第一宇宙速度 v gRv0L2hR，B 正确答案 B5(20
5、14西安一模)如图 1 所示，人造卫星 A、B 在同一平面内绕地心 O 做匀速圆周运动已知 A、B 连线与 A、O 连线间的夹角最大为，则卫星 A、B 的角速度之比AB等于()图 1Asin3B.1sin3C.sin3D.1sin3答案 C6(2014山东潍坊市联考)2012 年，天文学家首次在太阳系外找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星 P，这个行星围绕某恒星 Q 做匀速圆周运动测得 P 的公转周期为 T，公转轨道半径为 r，已知引力常量为 G，则()A恒星 Q 的质量约为42r3GT2B行星 P 的质量约为42r3GT2C恒星 Q 的平均密度约为 3GT2D行星 P 的第一宇宙速度为2rT
6、解析 由于万有引力提供向心力，以行星 P 为研究对象有 GMmr2 m42T2 r，得 M42r3GT2，选项 A 正确；根据万有引力提供向心力只能求得中心天体的质量，因此根据题目所给信息不能求出行星 P 的质量，选项 B 错误；由题中信息无法得出恒星 Q 的体积，故无法求出恒星 Q 的密度，选项 C 错误；2rT 是行星 P 的公转速度，而不是其第一宇宙速度，选项 D 错误，答案为 A.答案 A7(2014浙江卷，16)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径 r119 600 km，公转周期 T16.39 天.2006 年 3 月，天文学家新发现两颗冥王
7、星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径 r248 000 km，则它的公转周期 T2 最接近于()A15 天B25 天C35 天D45 天解析 根据牛顿第二定律及万有引力定律得GMm1r21m142T21 r1GMm2r22m242T22 r2由得：r31r32T21T22，即 T2r2r1r2r1T11204912049 6.39 天25 天，选项 B 正确答案 B8(2014河北石家庄质检)太阳系中某行星 A 运行的轨道半径为 R，周期为 T，但科学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t 发生一次最大的偏离天文学家认为形成这种现象的原因可能是 A 外侧还存在着一颗未
8、知星 B，它对 A 的万有引力引起 A 行星轨道的偏离，假设其运行轨道与 A 在同一平面内，且与 A 的绕行方向相同，由此可推测未知行星 B 绕太阳运行的圆轨道半径为()AR3 ttT2B.ttT RCR3tTt 2DR3t2tT解析 在太阳系中行星 A 每隔时间 t 实际运行的轨道发生一次最大偏离，说明A、B 此时相距最近，此过程类似于钟表中时、分两针从重合到再次重合，已知 A 的轨道半径小于 B 的轨道半径，则有 AtBt2，2T t 2Tt2，T ttTT，利用开普勒第三定律有 R3R3 T2T2，解得 RR3 ttT2，所以只A 项正确答案 A9(2014高考冲刺卷四)美国航天局 20
9、13 年 4 月 18 日宣布，开普勒天文望远镜已观测到太阳系外迄今“最像地球”的行星据称，有两颗行星位于一个名为开普勒62 的行星系统的“宜居带”中，这里温度条件适宜，理论上其表面有液态水，甚至可能有少许大气若 A、B 两行星的密度相同，A 行星表面重力加速度是 B 行星表面重力加速度的 2 倍(忽略行星自转影响)，已知两行星各有一颗卫星在其表面附近围绕行星做匀速圆周运动，由此可判断下列说法正确的是()AA、B 两行星的半径之比为 41BA、B 两行星的质量之比为 18C两颗卫星分别绕 A、B 做匀速圆周运动的周期之比为 11D两颗卫星分别绕 A、B 做匀速圆周运动的线速度大小之比为 12解
10、析 设 A、B 两行星的质量分别为 M1、M2，半径分别为 R1、R2，两卫星运行的周期分别为 T1、T2，线速度大小分别为 v1、v2.由题意有 M14R313 M24R323，GM1R212GM2R22.可解得 M1M281，R1R221，选项 A、B 错误；对 A 行星表面附近的卫星，GM1mR21 m(2T1)2R1，对 B 行星表面附近的卫星，GM2mR22 m(2T2)2R2，由上述各式得 T1T2，所以选项 C 正确；由v1v2R1R2T2T1，可得 v1v221，则选项 D 错误答案 C10(2014海南卷，6)设地球自转周期为 T，质量为 M，引力常量为 G，假设地球可视为质
11、量均匀分布的球体，半径为 R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为()A.GMT2GMT242R3B.GMT2GMT242R3C.GMT242R3GMT2D.GMT242R3GMT2解析 假设物体质量为 m，物体在南极受到的支持力为 FN1，则 FN1GMmR2；假设物体在赤道受到的支持力为 FN2，则GMmR2 FN2m42T2 R；联立可得FN1FN2GMT2GMT242R3，故选 A.答案 A二、多项选择题11如图 2 所示，A 表示地球同步卫星，B 为运行轨道比 A 低的一颗卫星，C 为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体 C 的质量都相同，关于它们的线
12、速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是()图 2AvBvAvCBABCCFAFBFCDTATCTB解析 A 为地球同步卫星，故 AC，根据 vr 可知 vAvC，再根据 GMmr2m42T2 r 得到 vGMr，可见 vBvA，所以三者的线速度关系为 vBvAvC，故选项 A 正确，由 2T 可知 TATC，由 GMmr2 m(2T)2r 可知 TCTB，因此它们的周期关系 TATCTB，它们的角速度关系为 BAC，所以选项 D正确，选项 B 错误；FGMmr2 可知 FAFBFC，所以选项 C 错误答案 AD12(2014长春市调研测试)如图 3 所示，有甲、乙两
13、颗卫星分别在不同的轨道围绕一个半径为 R、表面重力加速度为 g 的行星运动，卫星甲、卫星乙各自所在的轨道平面相互垂直，卫星甲的轨道为圆，距离行星表面的高度为 R，卫星乙的轨道为椭圆，M、N 两点的连线为其椭圆轨道的长轴且 M、N 两点间的距离为 4R.则以下说法正确的是()图 3A卫星甲的线速度大小为 2gRB卫星乙运行的周期为 42RgC卫星乙沿椭圆轨道运行经过 M 点时的速度大于卫星甲沿圆轨道运行的速度D卫星乙沿椭圆轨道运行经过 N 点时的加速度小于卫星甲沿圆轨道运行的加速度解析 卫星甲绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，可计算出卫星甲环绕行星运动的线速度大小 vgR2，A 选项错
14、误同理可计算出卫星甲环绕行星的周期 T 甲42Rg，由卫星乙椭圆轨道的半长轴等于卫星甲圆轨道的半径，根据开普勒第三定律，可知卫星乙运行的周期和卫星甲运行的周期相等，则 T 乙T 甲42Rg，B 选项正确卫星乙沿椭圆轨道经过 M 点时的速度大于轨道半径为 M 至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度，而轨道半径为 M至行星中心距离的圆轨道的卫星的线速度大于卫星甲在圆轨道上的线速度，C选项正确卫星运行时只受万有引力，引力加速度 aGMr2，D 选项正确答案 BCD13北京时间 2013 年 12 月 2 日凌晨 2 点 17 分，在西昌卫星发射中心，“长征三号乙”运载火箭将中国探月工程二期的“嫦娥三号
15、”月球探测器成功送入太空“嫦娥三号”接近月球表面的过程可简化为三个阶段：距离月球表面 15 km时打开反推发动机减速，下降到距月球表面 H100 m 高度时悬停，寻找合适落月点；找到落月点后继续下降，距月球表面 h4 m 时速度再次减为 0；此后，关闭所有发动机，使它做自由落体运动落到月球表面，已知“嫦娥三号”的质量为 140 kg，月球表面重力加速度 g约为 1.6 m/s2，月球半径为 R，引力常量为 G，则()A月球的质量为gR2GB月球的质量为gRGC“嫦娥三号”悬停在离月球表面 100 m 处时发动机对“嫦娥三号”的作用力大小为 224 ND“嫦娥三号”从悬停在 100 m 处到落至
16、月球表面，发动机对“嫦娥三号”做的功约为 2 150 J解析 设月球质量为 M，根据万有引力定律，在月球表面有 GMm0R2 m0g，解得 MgR2G，故选项 A 正确，B 错误由题意可知，“嫦娥三号”在 H100 m 高度悬停时受力平衡，则发动机对“嫦娥三号”的作用力的大小为 Fmg1401.6 N224 N，选项 C 正确设“嫦娥三号”从悬停在 100 m 处至到达 4 m 处的过程中，发动机对其做功为 W1，由动能定理得 mg(Hh)W10，解得 W1mg(Hh)1401.6(1004)J2.15104 J；从 4 m处释放至到达月球表面，机械能守恒，发动机对“嫦娥三号”做功为零，即W2
17、0.因此，“嫦娥三号”从悬停在 100 m 处到落至月球表面，发动机对“嫦娥三号”做的功约为 WW1W22.15104 J，故选项 D 错误答案 AC14(2014黑龙江齐齐哈尔二模)嫦娥工程划为三期，简称“绕、落、回”三步走我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，经变轨成功落月若该卫星在某次变轨前，在距月球表面高度为 h 的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为 T.若以 R 表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则()A“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为2RTB物体在月球表面自由下落的加速度大小为42Rh3R2T2C在月球上发射月球卫星的最小发
18、射速度为2RTRhRD月球的平均密度为3Rh3GT2R3解析“嫦娥三号”的线速度 v2RhT，A 项错误；由 GMmRh2m42T2(Rh)，GMmR2 mg 月，可得物体在月球表面的重力加速度 g 月42Rh3R2T2，B 项正确；因月球上卫星的最小发射速度也就是最大环绕速度，有GMm卫R2m卫v2R，又GMmRh2m42T2(Rh)可得：v2RhTRhR，C 项错误；由 GMmRh2m42T2(Rh)，MV，V43R3 可得月球的平均密度 3Rh3GT2R3，D 正确答案 BD方法技巧 解决天体运动问题要善于构建两大模型(1)“天体公转”模型某天体绕中心天体做匀速圆周运动，这种模型一般应用动力学方程(GMmr2 mv2r m2rm(2T)2rman)和黄金代换公式(GMgR2)就能轻松解决问题(2)“天体自转”模型天体绕自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动，这种模型中往往要研究天体上某物体随天体做匀速圆周运动问题，这时向心力是天体对物体的万有引力和天体对物体的支持力的合力，在天体赤道上，则会有 FnF 万FN.