1、力学测试题一、（ 20 分）如图所示，有一固定的、半径为 a 、内壁光滑的半球形碗（碗口处于水平位置）, O 为球心碗内搁置一质量为 m 、边长为 a 的等边三角形均匀薄板 ABC板的顶点 A 位于碗内最低点，碗的最低点处对 A 有某种约束使顶点 A 不能滑动（板只能绕 A 点转动）. 1 .当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点 A 、 B 、 C 的作用力的大小各为多少2.当板处于上述平衡状态时，若解除对 A 点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能二、（20分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零）
2、，落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。三、（22分）足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的。已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数，球与横梁碰撞时的恢复系数e=0.70。试问足球应
3、射在横梁上什么位置才能使球心落在球门线内（含球门上）？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向（垂直于横梁的轴线）的夹角（小于）来表示。不计空气及重力的影响。四、（20分）从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少。假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R6400 km。已知质量为 m 的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为式中 M 为地球质量，G 为引力常量。1. 假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向（用速度方向与地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示）。2. 若考虑地球的
4、自转，则最小发射速度的大小为多少？3. 试导出 。五、（20分）如图所示，一块长为的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，的值应在什么范围内？取vBvAB
5、AO六、（20分）两辆汽车A与B，在t = 0时从十字路口O处分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示汽车A持续地以固定的频率v0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率已知声速为u，且当然有u vA、vB 七、（ 20 分）弹性绳的一端固定于光滑水平桌面上的O点。另一端与桌面上的质量为M的小球P相连。绳子的自然长度为a，弹性系数是k。初始时，OP=2a，且小球的速度垂直于OP，求证：（1）如果初始时小球的动能超过总机械能的四分之一，则以后绳子不会再达到它的自然长度。（2）如果初始时的动能是总机械能的五分之一，则绳子将在某一时刻回到自然长度，且在以后保持松弛的时间间隔为CAB八、（ 18 分）两根相同的匀质棒AB和BC，质量均为m，B点用光滑铰链连接，A端被光滑铰链到一个固定点，棒限于在竖直平面内，A、C原在同一水平线上，ABC=90求：刚释放时两棒的初角加速度之比
