1、2圆与圆的方程21圆的标准方程1确定圆的条件圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径，一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了2圆的标准方程已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.特别地，圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2y2r2.判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径()(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2y2r2.()(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上和点在圆外()(4)圆(x1)2(y2)2m(m0)的圆心坐标为(
2、1,2)，半径为m.()答案(1)(2)(3)(4)题型一 点与圆的位置关系【典例1】已知点A(1,2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围思维导引不在圆的内部，即在圆上或在圆外，即到圆心的距离大于等于半径解由题意，点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范围是(0，)判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：(1)当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外针对训练1点
3、P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上D不确定解析把点P(m2,5)代入圆的方程x2y224得m42524，故点P在圆外答案A题型二 求圆的标准方程【典例2】求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程思路导引由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线xy20的交点，可通过解方程组求出圆心坐标解解法一：设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a,2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.解法二：由已知可得线段AB的中点坐标
4、为(0,0)，kAB1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k1，所以AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程针对训练2(1)以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210B(x1)2(y2)2100 C(x1)2(y2)225D(x1)2(y2)225(2)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为_解析(1)AB为直径， AB
5、的中点(1,2)为圆心， 半径为|AB|5，该圆的标准方程为(x1)2(y2)225. (2)圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切， 该圆的半径为5, 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225. 答案(1)D(2)(x5)2(y3)225题型三 圆的标准方程的应用【典例3】已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？思路导引首先建立适当的坐标系，将现实问题转化为数学问题解以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为x2y216(y0)将x2.7代入，得y，|CQ|3.
6、因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内10已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程解(1)PQ的方程为xy10，PQ中点M，kPQ1，所以圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆的方程为：(xa)2(yb)21.由圆过P，Q点得：解得或所以圆C方程为：x2y21或(x1)2(y1)21.应试能力等级练(时间25分钟)11设P(x，y)是圆C：(x2)2y21上任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A6B25 C26D36解析(x5)2(y4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，4)的距离的平方因为点P在圆
7、(x2)2y21上，且点Q在圆外，所以其最大值为(|QC|1)236.答案D12已知实数x，y满足y，则t的取值范围是_解析y表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(1，3)连线的斜率如图：A(1，3)，B(3,0)，C(3,0)，则kAB，kAC，t或t.答案t或t13已知x，y满足x2(y4)24，求的最大值为_，最小值为_解析因为点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，所以表示点A(1，1)与该圆上点的距离因为(1)2(14)24，所以点A(1，1)在圆外，如图所示设圆心为C，则|AC|，所以的最大值为|AC|r2，最小值为|AC|r2.答案214已知以点C为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x3y150上(1)求圆C的方程；(2)设点P在圆C上，求PAB面积的最大值解(1)AB的垂直平分线方程为xy30，由解得圆心C(3,6)，半径r2，圆C的方程为(x3)2(y6)240.(2)|AB|4，直线AB的方程为xy10.圆心C到直线AB的距离d4.点P在圆C上，点P到直线AB距离的最大值为dr42，PAB面积的最大值为|AB|(42)4(42)168.