1、1集合考查的重点是集合的含义与表示，集合与集合间的基本关系、基本运算；常用逻辑用语主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、全称量词与特称量词，高考中常以上面的内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法，题型常以客观题或解答题的形式出现2算法初步的考查重点是程序框图及框图符号的含义，高考中常与其他章节内容(数列、应用题等)综合来考查算法的算理和思想，多以选择、填空题形式出现3复数内容主要考查复数的概念、运算及几何意义，多以容易题形式出现4预测2013年的高考对本专题内容的考察为：(1)考查集合的概念、集合之间的关系、集合的运算、集合中元素的特征等；与其他知识相
2、联系，如：集合的基本运算与解不等式、函数的定义域、值域相结合等，定义新运算(2)常用逻辑用语的考查主要是四种命题及其相互关系，以及在各种知识交汇点上考查充要条件的判断(3)通过程序框图考查对算法和基本算法语句的理解和应用，高考一般是两种题型：阅读程序框图或算法语句进行填空；求程序框图运行的结果(4)在选择填空题中，以高中数学的其他知识为依托，考查归纳推理或类比推理；在综合解答题中作为试题的一部分考查归纳推理(如数列中根据前几项归纳其通项公式)，在整个试卷中考查演绎推理(5)反证法在客观题中一般不会出现，在综合解答题中的考查也是在某个环节考查反证法的应用对于数学归纳法，则在综合解答题中作为试题的
3、一个部分来考查数学归纳法的应用，与合情推理综合起来考查归纳、类比、猜想与证明等(6)复数部分几乎每年的试卷中都会考查，一般会在选择题或填空题的前面位置出现，题目命制简单，考查内容清晰，主要考查复数的概念、两复数相等的充要条件、复数的代数形式的四则运算等但也有可能在解答题中与集合、向量等综合命题第1讲 集合与常用逻辑用语1考题展望(1)集合考查的重点是集合的含义、表示、集合与集合间的基本关系、基本运算、抽象集合等；常用逻辑用语主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、简单逻辑联结词、全称量词与存在量词；一般以客观题形式出现，难度不大另外，集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式
4、、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中也常以上面知识为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现高考中也常与新定义问题结合考查(2)新增考点有全称量词与存在量词，理解其含义并能正确地对含有一个量词的命题进行否定，多以客观题进行考查，是高考命题的新热点2高考真题考题1(1)(2012全国新课标)已知集合A1，2，3，4，5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3B6C8D10【解析】选D.x5，y1，2，3，4；x4，y1，2，3；x3，y1，2；x2，y1共10个【命题立意】本题考查集合
5、中元素个数问题，意在考查学生的分类讨论能力(2)(2012江西)下列命题中，假命题为()A存在四边相等的四边形不是正方形Bz1，z2C，z1z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C若x，yR，且xy2，则x，y至少有一个大于1D对于任意nN，Cn0Cn1Cnn都是偶数【解析】选B.空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A为真命题；令z11bi，z23bi(bR)，显然B为假命题；假设x，y都不大于1，则xy2不成立，故与假设矛盾，故C为真命题；Cn0Cn1Cn2Cnn2n为偶数，故D为真命题【命题立意】本题以命题的真假为切入点，综合考查了特称命题、全称命题、复数、二项式系数的性质、
6、空间四边形的性质以及反证法的思想方法考题2(2012湖南)已知数列an的各项均为正数，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1，2，.证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列【解析】(1)必要性：若数列an是公比为 q 的等比数列，则对任意 nN*，有an1anq，由 an0 知，A(n)，B(n)，C(n)均大于 0，于是B（n）A（n）a2a3an1a1a2an q（a1a2an）a1a2anqC（n）B（n）a3a4an2a2a3an1q（a2a3an1）a2a3an1q
7、即B（n）A（n）C（n）B（n）q，所以三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列(2)充分性：若对任意nN*，A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)得an2a2q(an1a1)即an2qan1a2qa1由n1得B(1)qA(1)即a2qa1，从而an2qan10因为 an0，所以an2an1a2a1q，故数列an是首项为 a1，公比为 q 的等比数列【命题立意】本题考查等比数列的概念、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力因为 an0，所以an2an1a2a1q，故数
8、列an是首项为 a1，公比为 q 的等比数列【命题立意】本题考查等比数列的概念、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力1集合的含义与表示、集合的运算例1(1)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若NIM，则MN()AMBNCIDA【解析】解法一：韦恩图法由图示，NM，故MNM，选A.解法二：按交、补的意义来理解：在N中且不在M的元素不存在，即N中元素都属于M，故NM.【点评】用韦恩图解集合问题是常用的方法；集合的交、并、补对应数学语言且、或、非(2)若Ax|3x4，Bx|2m1xm1，BA，则实数m的取值范围是1，)【解析】当 B时，由 2m1m1，解得 m2，当 B时
9、，则2m1m12m13m14，解得1m2.综上，可知，m1，)【点评】在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 AB，则有 A或 A两种可能，此时应分类讨论【解析】当 B时，由 2m1m1，解得 m2，当 B时，则2m1m12m13m14，解得1m2.综上，可知，m1，)【点评】在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 AB，则有 A或 A两种可能，此时应分类讨论(3)若规定 Ea1，a2，a10的子集ai1，ai2，ain 为 E 的 第 K 个 子 集，其 中12111222 niiiK，则a1，a3是 E 的第个子集；E 的第 211 个子集为5a1，a2
10、，a5，a7，a8【解析】根据K的定义，可知K2112315.此时K211，是个奇数，所以可判断所求子集中必含元素a1，又28，29均大于211，故所求子集不含a9，a10，实际上，2112726242120.故E的第211个子集为a1，a2，a5，a7，a8【点评】这是一个创新试题，定义了一个新的概念新定义题型要抓住“新定义”理解到位2常用逻辑用语例2(1)已知命题p：x1，2，x2a；命题q：xR，x22ax2a0.若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A(，2B(2，1)C(，21D1，)C【解析】由命题 p 得 a1；由命题 q 得，4a24(2a)0.a2 或 a1.又 p
11、且 q 是真命题，故由a1a2或a1得 a2 或 a1，选 C.【点评】“p 且 q”为真命题意味着 p 真且 q 真，求它们分别对应范围的交集【解析】由命题 p 得 a1；由命题 q 得，4a24(2a)0.a2 或 a1.又 p 且 q 是真命题，故由a1a2或a1得 a2 或 a1，选 C.【点评】“p 且 q”为真命题意味着 p 真且 q 真，求它们分别对应范围的交集(2)下列有关命题的说法正确的是()A命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”B“x1”是“x25x60”的必要不充分条件C 命 题“x0R，x02 x0 1 0”的 否 定 是“xR，x2x10”D命题“若
12、xy，则sinxsiny”的逆否命题为真命题【点评】四种命题及它们的真假关系，全称命题与特称命题的否定等是此节的基本概念，要弄清楚D3充要条件例3求使 f(x)x|xa|b 为奇函数的充要条件【解析】f(x)为奇函数的充要条件为 a0 且 b0.证明如下：(1)充分性 当 a0 且 b0 时，f(x)x|x|，f(x)x|x|x|x|f(x)故 f(x)为奇函数；3充要条件例3求使 f(x)x|xa|b 为奇函数的充要条件【解析】f(x)为奇函数的充要条件为 a0 且 b0.证明如下：(1)充分性 当 a0 且 b0 时，f(x)x|x|，f(x)x|x|x|x|f(x)故 f(x)为奇函数；
13、(2)必要性若f(x)为奇函数，则f(0)0，故b0；f(1)f(1)，即|a1|a1|从而a1(a1)a0.综上可知f(x)x|xa|b为奇函数a0且b0.【点评】探求充要条件时，可先寻找必要条件，再进一步完善成为充要条件1集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键解决集合问题，要弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简；抓住集合中元素的三个性质，对互异性要注意检验2求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或韦恩图的作用3含参数的问题，要有分类讨论的意识注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB，则有A或A两种可能，此时应分类讨论4判断充要条件关系的
14、四种方法：定义法；利用原命题和逆否命题的等价性来确定：pq等价于綈q綈p；利用集合的包含关系；利用传递性5能熟练地写出全称命题、特称命题的否定1设集合My|y2x，xR，Ny|yx2，xR，则MN()A(0，)B0，)C2，4D(2，4)，(4，16)【解析】M(0，)，N0，)，故MN(0，)A2有四个关于三角函数的命题：p1：xR，sin2x2cos2x212；p2：x，yR，sin(xy)sinxsiny；p3：x0，1cos2x2sinx；p4：sinxcosyxy2.其中的假命题是()Ap1，p4Bp2，p4 Cp1，p3Dp2，p3A【解析】p1 应该是xR，sin2x2cos2x
15、21；对于 p2，当 y0 时结论成立；对于 p3，显然1cos2x2|sinx|，由于 x0，所以结论恒成立；对于 p4，显然 xy2 2k，kZ 时成立 所以 p1，p4 错误，选 A.【点评】全称命题其实就是一个一般结论，要说明这个结论的正确性就需要根据相关的知识进行证明，要否定这个结论只要找到一个反例即可；特称命题是一个局部性的结论，要说明这个局部性结论正确，只要有具体的一个例子说明其正确即可，但是要否定这个结论就要对其中所有的对象进行一一否定，就是要证明这个命题的否定是一个正确命题，即证明一个全称命题是正确命题举反例是解决这类问题的重要技巧，这类试题一般是选择题，通过列举反例找出其中
16、的假命题，然后再参照选项作出判断根据命题与其否定一真一假的规律，在证明判断不容易解决时，可以通过判断这个命题的否定的真假对这个命题作出判断3满足Ma1，a2，a3，a4，且Ma1，a2，a3a1，a2的集合M的个数是()A1B2C3D4【解析】M中含a1，a2，不含a3，a4可含也可不含，故有两个B4下列各组命题中，p是q的充要条件的是()Ap：ab0，q：a0Bp：ab0，q：a0，b0Cp：b0，q：函数f(x)ax2bxc是偶函数Dp：ABC是等腰三角形，q：sinAsinBC若集合 Ax|log12x12，则RA _(，0(22，)【解析】0 x(12)12即 0 x 22 A(0，2
17、2 RA(，0(22，)6设命题P：已知x，yR，如果xy0，则x0或y0，P的否命题是已知x，yR，如果xy0，则x0且y07设集合Sn1，2，3，n，若XSn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集则S4的所有奇子集的容量之和为【解析】S41，2，3，4X为Sn的子集，有16个其中奇子集为1，3，1，3，其容量分别为1，3，3，和为7.78设命题 P：a2a，命题 Q：对任何 xR，都有 x24ax10.已知 PQ 为假，PQ 为真，求实数 a 的取值范围【解析】命题 P：0a
18、1.命题 Q：12a12 由 PQ 为假，PQ 为真可知 P，Q 有且只有一个为真 若 P 真 Q 假，则0a1a12或a12 12a1【解析】命题 P：0a1.命题 Q：12a12 由 PQ 为假，PQ 为真可知 P，Q 有且只有一个为真 若 P 真 Q 假，则0a1a12或a12 12a1 若 P 假 Q 真，则a0或a112a12 12a0.综上可知，a 的取值范围是(12，012，1)9已知函数 f(x)13x3(a1)x2b2x，其中 a，b 为实常数(1)求函数 f(x)为奇函数的充要条件；(2)若任取 a0，4，b0，3，求函数 f(x)在 R 上是增函数的概率【解析】(1)若
19、f(x)为奇函数，则对任意 xR，f(x)f(x)0 恒成立，即13x3(a1)x2b2x13x3(a1)x2b2x0 即 2(a1)x20 恒成立，所以 a1 9已知函数 f(x)13x3(a1)x2b2x，其中 a，b 为实常数(1)求函数 f(x)为奇函数的充要条件；(2)若任取 a0，4，b0，3，求函数 f(x)在 R 上是增函数的概率【解析】(1)若 f(x)为奇函数，则对任意 xR，f(x)f(x)0 恒成立，即13x3(a1)x2b2x13x3(a1)x2b2x0 即 2(a1)x20 恒成立，所以 a1 又当 a1 时，f(x)13x3b2x 则 f(x)13x3b2xf(x
20、)，所以 f(x)为奇函数 故 f(x)为奇函数的充要条件是 a1.(2)因为f(x)x22(a1)xb2，若f(x)在R上是增函数，则对任意xR，f(x)0恒成立，所以4(a1)24b20，即|a1|b|.设“f(x)在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为(a，b)|a1|b|又全部试验结果是(a，b)|0a4，0b3，如图 所以 P(A)S阴影S 341211123334712 故 f(x)在 R 上是增函数的概率是 712.【点评】本题主要考查充要条件的判断，几何概型的求法，有一定的综合性又全部试验结果是(a，b)|0a4，0b3，如图 所以 P(A)S阴影S 341211123334712 故 f(x)在 R 上是增函数的概率是 712.【点评】本题主要考查充要条件的判断，几何概型的求法，有一定的综合性
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