1、二 直线方程的两点式和一般式1直线方程的两点式2.直线方程的截距式3.直线方程的一般式(1)定义：关于 x、y 的二元一次方程 AxByC0_(A、B 不同时为 0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式(2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可用直线方程的一般式来表示(3)系数的几何意义当 B0 时，yABxCB，它表示平面直角坐标系中一条不垂直于 x 轴的直线(其中AB就是直线的斜率)当 B0 时，则 A0，所以有 xCA，它表示平面直角坐标系中一条与 x 轴垂直的直线1已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中 x1x2，y1y2，求通过这两点的直线方程答案 y
2、y1y2y1x2x1(xx1)，即 yy1y2y1 xx1x2x1.2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案 不能，因为 110，而 0 不能做分母过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示3截距式方程能否表示过原点的直线？答案 不能因为 ab0，即有两个非零截距4当 B0 时，方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)表示怎样的直线？B0 呢？答案 当 B0 时，由 AxByC0，得 yABxCB，所以该方程表示斜率为AB，在 y 轴上截距为CB的直线；当 B0 时，A0，由 AxByC0，得 xCA，所以该方程表示一条垂直
3、于 x 轴的直线题型一直线的两点式方程【典例 1】已知 A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程参考公式：若Ax1，y1，Bx2，y2，则线段AB中点坐标为x1x22，y1y22思路导引(1)BC 边的直线方程可以用两点式表示(2)先求出 BC 边上的中点，然后利用两点式求 BC 边上的中线所在直线的方程解(1)BC 边过两点 B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得 y424x505，即 2x5y100，故 BC 边的方程是 2x5y100(0 x5)(2)设 BC 的中点 M(a，b)，则 a502 52，b4
4、223，所以 M52，3，又 BC 边的中线过点 A(3,2)，所以 y232x3523，即 10 x11y80，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80.引申探究 若本例条件不变，试求 BC 边的垂直平分线所在的直线方程解 kBC425025，则 BC 的垂直平分线的斜率为52，又 BC 的中点坐标为52，3，由点斜式方程可得 y352x52，即 10 x4y370.(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，要判断是否满足两点式方程的适用条件(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应
5、关系，即 x2 与 y2 是同一点坐标，而 x1 与 y1 是另一点坐标针对训练 1 若点 P(3，m)在过点 A(2，1)，B(3,4)的直线上，则 m_.解析 由直线方程的两点式得y141 x232，即y15 x25.直线 AB 的方程为 y1x2，点 P(3，m)在直线 AB 上，m132，得 m2.答案 2题型二直线的截距式方程【典例 2】过点 A(3，1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A2 条 B3 条 C4 条 D无数多条思路导引 直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线 l 过点 A(3，1)求得直线方程解析 当
6、截距都为零时满足题意要求，直线为 y13x，当截距不为零时，设直线方程为xayb1，3a1b 1，|a|b|，a2，b2或a4，b4，即直线方程为x2y21 或x4 y41，满足条件的直线共有 3 条故选 B.答案 B如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况针对训练 2 直线 l 过定点 A(2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4，则直线 l 的方程为_解析 解法一：设直线方程为xayb1，则12|a|b|4，2a 3b1.解得a4，b2或a4
7、3，b6，所以直线 l 的方程为x4y21 或 x43 y61，即 9x2y120或 x2y40.解法二：由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设为 k，则直线 l 的方程为 y3k(x2)，令 x0，得 y2k3，令 y0，得 x3k2，则 S12|2k3|3k2 4，所以(2k3)3k2 8.若(2k3)3k2 8，即 4k24k90，无解若(2k3)3k2 8，即 4k220k90，解得 k92或12.所以直线 l 的方程为 y392(x2)或 y312(x2)即 9x2y120 或 x2y40.答案 9x2y120 或 x2y40题型三直线的一般式方程的应用【典例 3】设直线 l
8、的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围思路导引(1)直线在坐标轴上的截距相等，注意截距为零的情况(2)直线不经过第二象限，则其斜率大于零，在 y 轴上截距小于零解(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为零，当然相等则(a1)002a0，a2，方程即 3xy0；若 a2，由题设 l 在两轴上的截距相等，a2a1a2，即 a11，a0，方程即 xy20.l 的方程为 3xy0 或 xy20.(2)将 l 的方程化为 y(a1)xa2，欲使 l 不经过第二象限，当且仅当a10a2
9、0或a10，a20a1.综上可知 a 的取值范围是 a1.(1)截距概念的把握要注意两点：可以为零可以为负(不能与距离混淆)；在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察，直线 l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况(2)由直线的一般式方程 AxByC0(A2B20)求直线在两轴上的截距时，令 x0 得纵截距；令 y0 得横截距由两截距位置可知直线的位置针对训练 3 设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)若直线 l 在 x 轴上的截距为3，则 m_；(2)若直线 l 的斜率为 1，则 m_.解析(1)由题意知 m22m3
10、0，即 m3 且 m1，令 y0，则 x2m6m22m3，2m6m22m33，得 m53或 m3(舍去)m53.(2)由题意知，2m2m10，即 m12且 m1.把直线 l 化为斜截式方程得 ym22m32m2m1x62m2m2m1，则m22m32m2m11，得 m2 或 m1(舍去)m2.答案(1)53(2)21下列说法正确的是()A经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示B经过任意两个不同点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不经过原点的直线都可以用方程xayb1 表示D经过定点 A(0，
11、b)的直线都可以用方程 ykxb 表示解析 当直线与 y 轴平行或重合时，斜率不存在，选项 A、D不正确；当直线垂直于 x 轴或 y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项 C 不正确；当 x1x2，y1y2 时由直线方程的两点式知选项 B 正确，当 x1x2，y1y2 时直线方程为 xx10，即(xx1)(y2y1)(yy1)(x2x1)，同理 x1x2，y1y2 时也可用此方程表示故选 B.答案 B2如图所示，直线 l 的截距式方程是xayb1，则有()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0，b0)，则由已知可得12ab2，|ab|3当 ab 时，可化为12ab2，ab3解得a
12、4，b1或a1，b4(舍去)当 a0 时不成立解得 k123，k283.所以直线 l 的方程为 2x3y60 或 8x3y120.课后作业(十九)(时间 45 分钟)学业水平合格练(时间 20 分钟)1过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为()Ayx3 Byx1Cyx2 Dyx2解析 由两点式方程可得，y141x212，即 yx3.选 A.答案 A2直线(2m25m2)x(m24)y5m0 的倾斜角为 45，则 m的值为()A2 B2C3 D3解析 由已知得 m240，且2m25m2m241，解得 m3 或 m2(舍去)答案 D3已知直线 axby10 在 y 轴上的截距为1，且它的倾斜角是
13、直线 3xy 30 的倾斜角的 2 倍，则 a，b 的值分别为()A 3，1 B.3，1 C 3，1 D.3，1解析 原方程化为x1ay1b1，1b1，b1.又axby10 的斜率 kaba，且 3xy 30 的倾斜角为 60，ktan120 3，a 3，故选 A.答案 A4若直线 l 的横截距与纵截距都是负数，则()Al 的倾斜角为锐角且不过第二象限Bl 的倾斜角为钝角且不过第一象限Cl 的倾斜角为锐角且不过第四象限Dl 的倾斜角为钝角且不过第三象限解析 依题意知，直线 l 的截距式方程为 xa yb1(a0，b0)，显然直线 l 只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故
14、选 B.答案 B5直线 ymx3m2(mR)必过定点()A(3,2)B(3,2)C(3，2)D(3，2)解析 由 ymx3m2，得 y2m(x3)，所以直线必过点(3,2)答案 A6已知直线xay61 与坐标轴围成的图形面积为 6，则 a 的值为_解析 由xay61 知 S12|a|6|6，所以 a2.答案 27过点 P(3，1)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2倍的直线 l 的方程是_解析 设直线 l 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，当a0 时，b0，此时直线 l 的方程为yx13，所以 x3y0；当 a0时，a2b，此时直线 l 的方程为 x2byb1，
15、代入(3，1)得 x2y10.答案 x2y10 或 x3y08已知直线(a2)x(a22a3)y2a0 在 x 轴上的截距为 3，则该直线在 y 轴上的截距为_解析 把(3,0)代入已知方程得：(a2)32a0，a6.直线方程为4x45y120，令 x0，得 y 415.答案 4159.三角形的三个顶点分别是 A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，如右图所示，求这个三角形三边所在直线的方程解 AB 边所在直线的方程，由两点式得 y030 x535，即3x8y150；BC 边所在直线的方程，由斜截式得 y2303x2，即 5x3y60；AC 边所在直线的方程，由截距式得 x5y21，即 2x
16、5y100.10求满足下列条件的直线方程(1)经过点 A(1，3)，且斜率等于直线 3x8y10 斜率的 2倍；(2)过点 M(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的周长为 12.解(1)因为 3x8y10 可化为 y38x18，所以直线 3x8y10 的斜率为38，则所求直线的斜率 k238 34.又直线经过点(1，3)，因此所求直线的方程为 y334(x1)，即 3x4y150.(2)设直线与 x 轴的交点为(a,0)，因为点 M(0,4)在 y 轴上，所以由题意有 4 a242|a|12，解得 a3，所以所求直线的方程为x3y41 或 x3y41，即 4x3y120 或 4x3y120.应
17、试能力等级练(时间 25 分钟)11已知 ab0，bc0，则直线 axbyc 通过()A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限解析 由 axbyc，得 yabxcb，ab0，bc0，直线在 y 轴上的截距cb0，b0)，由题意可知 ab a2b212.又因为直线过点 P43，2，所以 43a2b1，由可得 5a232a480，解得a4，b3或a125，b92.所以所求直线的方程为x4y31 或5x122y9 1，即 3x4y120 或 15x8y360.(2)存在设直线方程为xayb1(a0，b0)，由题意可知ab12，43a2b1，解得a4，b3或a2，b6.所以所求直线的方程为x4y31 或x2y61，即 3x4y120 或 3xy60.