1、提能拔高限时训练48 排列与组合的综合问题一、选择题1从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有（ ）A9个 B24个 C36个 D54个解析：先选后排,共有33654（个）.答案：D25本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少1本,不同分法的种数为（ ）A480 B240 C120 D96解析：先把5本书中的2本捆起来有种方法,再将分好的4堆分给4位学生,有种方法,分法种数为240种.答案：B3对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测,直到区分出所有次品为止.若所有次品恰好经过五次检测被全部发现,则这样的检测方法有（
2、 ）A20种 B96种 C480种 D600种解析：所有次品恰好经过五次检测被全部发现,则第5次检测的必是4件次品中的1件,即前4次检测中必检测出了其余的3件次品和1件正品,故共有480种检测方法,即应选C答案：C4从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛,每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加英语比赛,则不同的参赛方案的种数为（ ）A96 B180 C240 D288解析：有三种情况：（1）甲、乙都不参加比赛有种;（2）甲、乙中只有一人参加比赛有种;（3）甲、乙都参加比赛有种.故共有240（种）,选C答案：C5将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿
3、者的方案种数为（ ）A540 B300 C180 D150解析：将5名志愿者分到满足题意的3个不同奥运场馆有1,1,3与2,2,1两种,所以共有种方案,故D正确.答案：D6（2009四川资阳模拟）有两排座位,前排6个座位,后排7个座位,现安排2人就座,并且这2人不左右相邻,那么不同的坐法种数是（ ）A134 B132 C102 D92解析：若先不考虑左右相邻,两人坐法总数是,两人相邻的情况有11种,故这2人不左右相邻的坐法总数是11134.答案：A7如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”
4、的个数是（ ）A18 B24 C36 D48解析：分类计算：每条棱上各有两对“正交线面对”，有24对;六个对角面和对角线有一对“正交线面对”，有12对，故答案选C答案：C8从6名短跑运动员中选出4人参加4100 m接力赛,如果甲、乙两人都不跑第一棒,那么不同的参赛方案有（ ）A180种 B240种 C300种 D360种解析：选甲不选乙：,不选甲、乙有24,选乙不选甲：.甲、乙都选上有C24A22A3372,故共有72727224240.答案：B9如图,A,B,C,D为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共有（ ）A8种 B12种 C16种 D20种解析：四个小岛
5、中每两个小岛建一座桥共建六座桥,其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是：三座桥不围成封闭的三角形区域,如桥AC,BC,BD符合要求,而围成封闭三角形不符合要求,如桥AC,CD,DA不符合要求,故共有416（种）.答案：C10在平面直角坐标系中,x轴正半轴上有5个点,y轴正半轴上有3个点,将x轴上的5个点和y轴上的3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A30个 B35个 C20个 D15个解析：为使线段的交点在第一象限,则需在x轴和y轴上分别任找2个点,这4个点对应着两条线段在第一象限的1个交点,故交点个数最多有30（个）.答案：A二、填空题11从5双不同的鞋子中
6、任取4只，这4只鞋子中至少有2只鞋子原来是同一双的可能取法数为_种.解析：第一类：先从5双中任取2双有种，第二类：从5双中取1双，再从剩下的8只中取不是1双的2只，共有120种，由分类计数原理知共有120130（种）.答案：13012有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有_种.（用数字作答）解析：数字之和为10的情况有4,4,1,1;4,3,2,1;3,3,2,2.所以共有种不同排法.答案：43213用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字）,要
7、求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是_.（用数字作答）解析：依题先排除1和2的剩余4个元素有8种方案,再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体,有种插法,不同的安排方案共有40种.答案：4014某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）,要在如右图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有_种.（用数字作答）解析：A1处4种,B1处3种,C1处2种,则下底面共43224种,根据A,B1处灯泡颜色是否相同分类：A,B1同,B处3种,C处1种,则共有3种,A,B1不同,A处3种
8、,B处2种,C处1种,则共有326种,由分类计数原理,得上底面共369种.由分步计数原理得共有249216种.答案：216三、解答题15商店的橱窗需要排列6件不同的红色商品，6件不同的蓝色商品，要求红色与蓝色间隔，则有多少种排法？解：先考虑排一种颜色有种方法，第二步选已排好的各件商品的右侧空位，包括最右侧的共有6个位置，又有种方法，当然还可选排好的每件商品左侧，同样有种方法.总之，共有排法22（）2种.16有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三个组
9、；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本.解：（1）分三步：先选1本有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下的3本全选有种选法.由分步计数原理，知分配方式共有60（种）.（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还应考虑再分配问题.因此，分配方式共有360（种）.（3）先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共种情况，而且这
10、种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同而造成的，因此，只能作为一种分法，故分配方式有15（种）.（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方式（种）.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】一名同学想要报考某大学,他必须从该校的7个不同专业中选出5个,并按第一志愿,第二志愿,第五志愿的顺序填写志愿表,若A专业不能作为第一、第二志愿,则他共有种不同的填法.（用数字作答）解析：若A专业不选,则有种填法;若A专业选,则有种填法,共有1 800种不同的填法.答案：1 800【例2】7本不同的书分给3人,每人至少1本,则不同的分法共有（ ）A1 176种 B1 260种 C1 491种 D1 806种解析：先分组再排列,若一人5本另外两人各1本共有126种不同的分法;若一人4本一人2本一人1本共有630（种）不同的分法;若两人各3本另外一人1本共有=420种不同的分法;若一人3本,另外两人各2本共有630（种）不同的分法.故总共不同的安排方案有1 806种.答案：Dw.w.w.k.s.5.u.c.o.m