1、 简谐运动 特点 受力特点:=-运动特点:=-(变加速运动)振动位移随时间的变化规律:正弦规律=sin(+)描述 物理量 位移:以平衡位置为参考点振幅()周期()频率()相位(+)振动图象 正弦(或余弦)曲线物理意义图象信息机械振动 理想化模型 弹簧振子单摆:(在偏角很小,5时)=2 外力作用下的振动 阻尼振动 振幅逐渐减小振动能逐渐转化为其他形式的能受迫振动 周期性驱动力作用下的振动受迫振动的频率等于驱动力的频率共振:当驱=固时,振幅最大的现象机械振动 专题一 简谐运动的周期性和对称性1.周期性:做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能回到原来的状态,因此在处理实际问题中,要注意到多解的
2、可能性。2.对称性:(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。(2)时间的对称性:系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点 A、B 的时间与逆向通过的时间相等。(3)加速度的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度。【例 1】某质点做简谐运动,从平衡位置 O 开始计时,经 0.2 s第一次到达 M 点,如图所示。再经过 0.1 s 第二次到达 M 点,求它再经多长时间第三次到达 M 点?解析:解本题的关键是要弄清简谐运动的对称性。第一种情况,质点由 O 点经过 t1=0.2 s 直接到达 M,再经过 t2=0.1s 由点
3、C 回到 M。由对称性可知,质点由点 M 到达 C 点所需要的时间与由点 C 返回 M 所需要的时间相等,所以质点由 M 到达 C 的时间为 t=22=0.05 s。质点由点 O 到达 C 的时间为从点 O 到达 M 和从点 M 到达 C的时间之和,这一时间则恰好是4,所以该振动的周期为T=4(t1+t)=4(0.2+0.05)s=1 s,质点第三次到达 M 点的时间为 t3=2+2t1=12+2 0.2 s=0.9 s。第二种情况,质点由点 O 向 B 运动,然后返回到点 M,历时 t1=0.2s,再由点 M 到达点 C 又返回 M 的时间为 t2=0.1 s。设振动周期为 T,由对称性可知
4、 t1-4+22=2,所以 T=13 s,质点第三次到达 M 点的时间为 t3=T-t2=13-0.1 s=730 s。答案:0.9 s 或730 s点拨:本题还可以假定 M 点位置确定,而从平衡位置出发的方向可能沿 x 轴正方向,也可能沿 x 轴负方向,从而带来两解,两种假设方法,答案相同。解析:根据题意,由振动的对称性可知,AB 的中点(设为 O)为平衡位置,A、B 两点对称分布于 O 点两侧。质点从平衡位置 O 向右运动到 B 的时间应为 tOB=120.5 s=0.25 s。质点从 B 向右到达右方极端位置(设为 D)的时间 tBD=120.5 s=0.25 s。所以,质点从 O 到
5、D 的时间tOD=14T=0.25 s+0.25 s=0.5 s,解得 T=2 s。答案:C迁移训练 1一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B 两点,历时 0.5 s(如图所示)。过 B 点后再经过 t=0.5 s 质点以大小相等、方向相反的速度再次通过 B 点,则质点振动的周期是()A.0.5 s B.1.0 s C.2.0 s D.4.0 s专题二 单摆的周期公式1.单摆的周期公式:T=2。2.对单摆周期公式的理解:由公式 T=2 知,某单摆做简谐运动(偏角小于 5)的周期只与其摆长 l 和当地的重力加速度 g 有关,而与振幅或摆球质量无关,故又叫作单摆的固有周期
6、。【例 2】如图所示,MN 为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球 A放在 MN 的圆心处,再把另一小球 B 放在 MN 上最低点 C 很近的 B点处,今使两球同时自由释放,则在不计空气阻力时有()A.A 球先到达 C 点B.B 球先到达 C 点C.两球同时到达 C 点D.无法确定哪一个球先到达 C 点解析:A 球做自由落体运动,到达 C 点所需时间 tA=2,R 为圆弧轨道的半径。因为圆弧轨道的半径 R 很大,B 球离最低点 C 又很近,所以 B 球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为 R 的单摆),则运动到最低点 C 所用的时间是单摆振动周期的14,即 tB=4
7、=2 tA,所以 A 球先到达 C 点。答案:A迁移训练 2 如图所示,三根长度均为 l0 的绳 l1、l2、l3 共同系住一密度均匀的小球 m,球的直径为 d(dl0),绳 l2、l3 与天花板的夹角=30,则:(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动,则周期 T1 为多少?(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动,则周期 T2 又为多少?解析:(1)小球以 O1 为圆心做简谐运动,所以摆长 l=l1+2=l0+2,振动的周期为 T1=2=2 0+2=2 20+2。(2)小球以 O 为圆心做简谐运动,摆长 l=l1+l2sin+2=l0+l0sin+2,振动周期为 T2=2=2 0+0sin+2=
8、2 30+2。答案:(1)2 20+2 (2)2 30+2专题三 振动图象如图所示,则1.从图象上可知振动的振幅为 A;2.从图象上可知振动的周期为 T;3.从图象上可知质点在不同时刻的位移,t1 时刻对应位移 x1,t2 时刻对应位移 x2;4.从图象上可以比较质点在各个时刻速度的大小及符号(表示方向),如 t1 时刻质点的速度较 t2 时刻质点的速度小,t1 时刻质点的速度为负,t2 时刻质点的速度也为负(t1 时刻是质点由正的最大位移处向平衡位置运动过程中的某一时刻,而 t2 时刻是质点由平衡位置向负的最大位移处运动过程中的某一时刻);5.从图象上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符号
9、,如 t1时刻的加速度较质点在t2时刻的加速度大,t1时刻质点加速度符号为负,t2 时刻质点加速度符号为正;6.从图象可以看出质点在不同时刻之间的相位差。【例 3】如图所示,是一个质点的振动图象。根据图象回答下列问题。(1)振动的振幅;(2)振动的频率;(3)在 t=0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s 时质点的振动方向;(4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置;(5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置;(6)在 0.6 s 至 0.8 s 这段时间内质点的运动情况。解析:(1)振幅为最大位移的绝对值,从题中图象可知振幅 A=5cm。(2)从题中图象可知周期 T=
10、0.8 s,则振动的频率 f=1=10.8 Hz=1.25 Hz。(3)由各时刻的位移变化过程可判断,t=0.1 s、0.7 s 时,质点的振动方向为正方向;t=0.3 s、0.5 s 时,质点的振动方向为负方向。(4)质点在 0.4 s 通过平衡位置时,首次具有负方向的速度最大值。(5)质点在 0.2 s 时处于正向最大位移处,此时加速度首次具有负方向的最大值。(6)在 0.6 s 至 0.8 s 这段时间内,从题中图象上可以看出,质点沿负方向的位移不断减小,说明质点正沿着正方向由负方向最大位移处向着平衡位置运动,所以质点做加速运动。答案:(1)5 cm(2)1.25 Hz(3)见解析(4)0.4 s 平衡位置(5)0.2 s 正向最大位移处(6)见解析迁移训练 3 甲、乙两弹簧振子,振动图象如图所示,则()A.两弹簧振子完全相同B.两弹簧振子所受回复力最大值之比 F 甲F 乙=21C.振子甲速度为 0 时,振子乙速度最大D.振子的振动频率之比 f 甲f 乙=21解析:弹簧振子的周期与其本身性质有关,A 错误;由于振幅表示振动的能量而不是回复力,B 错误;振子在平衡位置时速度最大,在位移最大处时速度为 0,C 正确;由题图可知 T 甲T 乙=21,即 f 甲f 乙=12,D 错误。答案:C