1、问题 18 排列、组合、二项式定理与概率1(2012浙江)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60 种B63 种C65 种D66 种答案：D 对于 4 个数之和为偶数，可分三类，即 4 个数均为偶数，2 个数为偶数 2个数为奇数，4 个数均为奇数，因此共有 C44C24C25C4566 种2(2012山东)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能全是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为()A232B252C472D484答案：C 若没有红色卡片，则需从黄
2、、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色则有C14C14C1464 种，若 2 张同色，则有 C23C12C24C14144 种；若红色卡片有 1 张，剩余 2 张不同色，则有 C14C23C14C14192 种，剩余 2 张同色，则有 C14C13C2472 种，所以共有 6414419272472 种不同的取法故选 C.3(2012辽宁)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为()A.16B.13C.23D.45 答案：C 设出 AC 的长度，先利用矩形面积小于 32 cm2 求出 AC 长
3、度的范围，再利用几何概型的概率公式求解设 ACx cm，CB(12x)cm，0 x12，所以矩形面积小于32 cm2 即为 x(12x)320 x4 或 8x12，故所求概率为 81223.4(2012广东)x21x6 的展开式中 x3 的系数为_(用数字作答)解析 由x21x6 的展开式的通项为 Tr1Cr6(x2)6r 1xrCr6x123r，令 123r3，得 r3，所以展开式中 x3 的系数为 C3665412320.答案 20排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算由于这部分内容概念性强，抽象性强
4、，思维方法新颖，因此备考时：要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；要牢记排列数、组合数、二项展开式公式；排列组合是进行概率计算的工具，在复习概率时要抓住概率计算的核心和这个工具.必备知识排列、组合(1)排列数公式 Amn n(n1)(n2)(nm1)，Amnn！nm！，Annn！，0！1(nN*，mN*，mn)(2)组合数公式及性质CmnAmnAmmnn1n2nm1m！，Cmnn！m！nm！，C0m1，CmnCnmn，Cmn1CmnCm1n.二项式定理(1)定理：(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCn1nabn1Cnnbn(nN*)通项(展开式的第 r1 项
5、)：Tr1Crnanrbr，其中 Crn(r0,1，n)叫做二项式系数(2)二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0nCnn，C1nCn1n，C2nCn2n，CrnCnrn.二项式系数的和等于 2n，即C0nC1nC2nCnn2n.二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即 C1nC3nC5nC0nC2nC4n2n1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n(12)nC0nC1n21C2n22Cnn2n 等古典概型(1)P(A)mnA中所含的基本事件数基本事件总数(2)求古典概型概率的方法和步骤反复阅读题目，收集题目中的各种信息
6、，理解题意判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件利用列举法或排列组合知识计算基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基本事件的个数 m.计算事件中 A 的概率 P(A)mn.必备方法1解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步2解排列、组合问题的常用策略：a相邻问题捆绑法；b.不相邻问题插空法；c.多排问题单排法；d.定序问题倍缩法；e.多元问题分类法；f.有序分配问题分步法；g.交叉问题集合法；h.至少或至多问题间接法；i.选排问题先取后排法；j.局部与整体问题排除法；k.复杂问题转化法3二项式中项的系数和差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，如(
7、1x)n 展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只要令 x1 即得，而(1x)n 的展开式中各项系数的绝对值的和，直接令 x1，这样就不难类比得到(1ax)n 展开式中各项系数绝对值的和为(1|a|)n.排列与组合的应用以实际生产、生活为背景的排列、组合问题是近几年的常考内容，解题时要先将问题转化为排列组合问题后再求解题目多为中低档题，为后面学习概率做基础【例 1】某城市举行奥运火炬接力传递活动，传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6名火炬手完成如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传递方案共有_种(用数字作答)审题视点 听课记录审题
8、视点 按照第一棒是否为甲、乙分两类求解解析 按照第一棒是否为甲，乙，可分为两类：第一棒是丙，则第六棒的安排有 C12种，中间 4 棒剩余 4 人全排列，故不同的安排方法有 C11C12A4448 种；第一棒是甲，乙中一人，则第一棒的安排有 C12种，最后一棒则只能安排甲，乙中不跑第一棒的一人，中间 4 棒剩余 4 人全排列，矿不同的安排方法有 C12C11A4448 种根据分类计数原理，可得不同的方案共有 484896 种答案 96对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”
9、的差异及分类的标准【突破训练 1】由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字，且 1,3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是()A72B96C108D144答案：C 从 2,4,6 三个偶数中选一个数放在个位，有 C13种方法，将其余两个偶数全排列，有 A22种排法，当 1,3 不相邻且不与 5 相邻时有 A33种方法，当 1,3 相邻且不与 5 相邻时有 A22A23种方法，故满足题意的偶数个数有 C13A22(A33A22A23)108.二项式定理的应用求二项式定理展开式的通项、特定项、二项式或项的系数，常以选择、填空题形式考查，二项式定理的应用有时也在数列压轴题中出现，主要是利用二项式
10、定理及不等式放缩法证明不等式 【例 2】(2011安徽)设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则 a10a11_.审题视点 听课记录审题视点 由 Tr1Cr21x21r(1)r 求解解析 Tr1Cr21x21r(1)r，a10C1121(1)11，a11C1021(1)10，a10a11C1121C1021C1021C10210.答案 01.利用二项展开式的通项分析求解时，注意二项式系数与项的系数的区别2二项式定理的应用不仅要注重它的“正用”，而且重视它的“逆用”；还要注意特殊值法的使用【突破训练 2】若x2x2 n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A360
11、B180C90D45答案：B 依题意知：n10，Tr1Cr10(x)10r 2x2 rCr102rx552r，令 552r0 得：r2，常数项为：C21022180.古典概型对于古典概型的考查常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，是高考考查的重点 【例 3】(2012天津六校三模)盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球，规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分现从盒内任取 3 个球(1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率审
12、题视点 听课记录审题视点(1)间接法求概率；(2)用组合知识求概率解(1)P1C37C39 712.(2)记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B，“取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件 C，则 P(BC)P(B)P(C)C12C23C39 C22C14C39 542.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏【突破训练 3】有编号为 A1，A2，A10 的 10 个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直
13、径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间1.48,1.52内的零件为一等品(1)从上述 10 个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中随机抽取 2 个()用零件的编号列出所有可能的抽取结果；()求这 2 个零件直径相等的概率解(1)由所给数据可知，一等品零件共有 6 个设“从 10 个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件 A，则 P(A)61035.(2)()一等品零件的编号为 A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2个，所有可能的结果有：A1，A2，A1，A3，A1，A4，A
14、1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共有 15 种()“从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果有：A1，A4，A1，A6，A4，A6，A2，A3，A2，A5，A3，A5，共有 6 种所以 P(B)61525.防范二项式展开式中的两个易错点易错点 1：二项式(ab)n 展开式的通项中，因 a 与 b 的顺序颠倒而容易出错【示例 1】(2012江苏苏北四市调研)x 23 x2n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162，则 x 的一次项系数为_解析
15、据题意有：C2n22()C1n2 162，即 2n(n1)2n162.n9.则 Tr1Cr9(x)9r 23 x2rCr9(2)rx9r2 2r3.由9r2 2r3 1，r3.T4(1)323C39x672x.答案 672老师叮咛：若 x与 23 x的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错一般地，二项式(ab)n 与(ba)n 的通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分【试一试 1】已知(13x)n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 120，则展开式中二项式系数最大的项为_解析 由已知得 Cn2nCn1nCnn121，则12n(n1)n1121，即 n2n2400，解得 n
16、15，所以，展开式中二项式系数最大的项是 T8C715(3x)7 和 T9C815(3x)8.答案 T8C715(3x)7 和 T9C815(3x)8易错点 2：二项式展开中项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错【示例 2】(2012山东青岛一模)如果3x 13 x2n 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中1x3的系数是()A7B7C21D21解析 当 x1 时，31 13 12n2n128，n7，即3x 13 x27，根据二项式通项公式得Tr1Cr7(3x)7r(1)rx23rCr737r(1)rx753r.753r3，r6 时对应1x3，即T61C67376(1)61x3731x321x3.故1x3项系数为 21.答案 C老师叮咛：展开式中f(1,x3)项的二项式系数是 C677，1x3项的系数为 21，因此在解此类问题时，须注意二项式系数与项的系数的区别和联系.【试一试 2】xax 2x1x5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为()A40B20C20D40答案：D 因为展开式各项系数和为 2，所以取 x1 得：(1a)(21)52，a1.二项式即为：x1x 2x1x5，它的展开式的常数项为：xC35(2x)21x31xC25(2x)31x24C 高考资源网%
