1、上海市松江二中2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.行列式中，元素的代数余子式的值为_【答案】【解析】【分析】根据行列式的展开A212（2）115计算可得结果【详解】行列式中元素3的代数余子式的A212（2）115，故答案为：5【点睛】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题2.已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数_【答案】【解析】【分析】由已知得，把x1，y2，能求出a的值【详解】线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，把x1，y2，代入得a+64，解得a2故答案为：2【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题
2、时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用3.若实数,满足，则目标函数的最大值为_.【答案】10【解析】由线性约束条件，得可行域如图：联立，得由图象知：当函数的图象过点时，取得最大值为10故答案为10点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.已知定点和曲线上的动点，则线段中点的轨迹方程是_【答案】【解析】【分析】设出P，B的坐
3、标，确定动点之间坐标的关系，利用动点B在圆x2+y21上运动，可得轨迹方程【详解】设线段AB中点为P（x，y），B（m，n），则m2x4，n2y动点B在圆x2+y21上运动，m2+n21，（2x4）2+（2y）21，（x2）2+y2故答案为：（x2）2+y2【点睛】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键5.执行下图的程序框图，如果输入，则输出的值为 【答案】【解析】试题分析：由题意，考点：程序框图6.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由已知得的最小值是点（1，2）到直线2x+y+50的距离，由此能求出结果【详解】点P（m，n）是直线2x+
4、y+50上的任意一点，的最小值是点（1，2）到直线2x+y+50的距离，的最小值d故答案为：【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，考查了点到直线的距离公式的应用7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是_.【答案】（1,2）【解析】【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y60，设P（a，4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标【详解】解：点P在直线=0上，点P在直线4x+y60，设P（a，4a+6），点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等， ，解得a1，点P的坐标是（1，2）故答案为：（1，2）【点睛】本题考查点的坐标的
5、求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.若直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程是_【答案】，或【解析】【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程【详解】直线过点，且与直线的夹角为，且直线的斜率为，即直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，则，或，故直线的斜率不存在，或直线的斜率为，故直线的方程为或，即直线的方程为或，故答案：或【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，熟记两直线的夹角公式即可，属于基础题型9.直线与连接A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则的取值范
6、围是_【答案】或【解析】【分析】判断直线恒过定点P（0，-1），计算PA、PB斜率，再利用数形结合求a的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P（0，-1），如图所示，计算，且或，则或，即实数a的取值范围是：或故答案为：或【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题10.如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】将向量转化为，代入，将所求向量的数量积转化为 ,表示在上的投影，由此可求得最小值.【详解】 ，由数量积的几何意义可知，当与重合时，在上的投影最短，此时，,故填2.【
7、点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.11.直线与直线交于一点，且的斜率为，的斜率为，直线、与轴围成一个等腰三角形，则正实数的所有可能的取值为 【答案】或.【解析】设直线与直线的倾斜角为，因为，所以，均为锐角，由于直线、与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1）时，有，因为，解得；（2）时，有，因为，解得.考点：直线与直线的位置关系.12.已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为_【答案】【解析】分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特
8、征选择求和的方法求解即可详解：由题意得直线的斜率为，即，解得当时，直线斜率为，即， 又满足上式，数列前项和为 点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解二.选择题13.在直角坐标系中，方程|x|y1的曲线是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，则可化为分段函数，利用反比例函数的图象可得结果.【详解】由，可知，利用反比例函数的图象以及函数的对称性可得方程表示的曲线是，故选C.【点睛】本题主要考查分段函数的图象，以及函数图象对称性的应用，
9、属于简单题.14.已知向量和的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据数量积的运算律直接展开，将向量的夹角与模代入数据，得到结果【详解】 8+3188+323181，故选D.【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题15.如图，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则满足条件的实数对可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的基本定理和平行四边形法则，可以将四个答案一一代入，判断点的位置，排除错误答案，即可得到结论【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则，A（，），此时P在线段AB上，B（，），此时P在直
10、线AB的上方，同理，D（，），此时P在直线AB的上方，因此ABD均不正确，故选：C【点睛】本题考查了向量的线性运算，平面向量的基本定理的应用，考查了代入验证法，属于基础题16.已知直线：，：，和两点（0,1），（-1,0），给出如下结论：不论为何值时，与都互相垂直；当变化时，与分别经过定点A（0,1）和B（-1,0）；不论为何值时，与都关于直线对称；如果与交于点，则的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4.【答案】C【解析】对于，当时，两条直线分别化为:，此时两条直线互相垂直，当时，两条直线斜率分别为:,满足,此时两条直线互相垂直，因此不论为何值时，与都
11、互相垂直，故正确；对于，当变化时，代入验证可得:与分别经过定点和，故正确；对于，由可知:两条直线交点在以为直径的圆上，不一定在直线上，因此与关于直线不一定对称，故不正确；对于，如果与交于点，由可知:，则，所以的最大值是1，故正确.所有正确结论的个数是3.故选C三.解答题17.已知向量，（1）当时，求的值；（2）求的最大值与最小值【答案】（1）（2）最大值与最小值分别为与【解析】【分析】（1）根据向量垂直坐标表示列式求解（2）先根据向量数量积化简函数，再根据二倍角公式以及辅助角公式化简，最后根据正弦函数性质求最值详解】（1）（2）所以的最大值与最小值分别为与【点睛】本题考查向量垂直坐标表示、向量
12、数量积坐标表示、二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属综合中档题.18.设直线与.（1）若，求、之间的距离；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若l1l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程【详解】（1）若l1l2，则，m6，l1：x2y10，l2：x2y60l1，l2之间的距离d；（2）由题意，0m3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3m），m时，S最大为，此时直线l2的方程
13、为2x+2y30【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：（）顶点的坐标；（）直线的方程【答案】（）（）【解析】【分析】（）设，可得中点坐标，代入直线可得；将点坐标代入直线得，可构造出方程组求得点坐标；（）设点关于的对称点为，根据点关于直线对称点的求解方法可求得，因为在直线上，根据两点坐标可求得直线方程.【详解】（）设，则中点坐标为：，即：又，解得：，（）设点关于的对称点为则，解得：边所在的直线方程为：，即：【点睛】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中
14、点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.20.类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理：对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线.（1）若，求；（2）若，已知点和直线；求的一个法向量；求点到直线的距离.【答案】（1）；（2）法向量；.【解析】【分析】（1）利用
15、定义求出（2）先求出l的方向向量为，由得法向量利用向量投影公式求解即可【详解】（1）由已知，则，且，则=；（2）直线l的方程可变形为：，直线l的方向向量为；设法向量为，由得，；令a7，则b5，；取直线l上一点B（0，2），则，所求为【点睛】考查对斜坐标系的理解，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，点到直线距离求法，直线的方向向量和法向量的概念21.已知在平面直角坐标系中，（），其中数列、都是递增数列.（1）若，判断直线与是否平行；（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；（3）若，（），记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列
16、的个数.【答案】（1）不平行；（2）证明见解析；（3）9个.【解析】【分析】（1）确定A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），求得斜率，可得A1B1与A2B2不平行；（2）因为an，bn为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，则ana1+（n1）d1，bnb1+（n1）d2，an+1a1+nd1，bn+1b1+nd2，从而可得，进而可证明数列Sn是等差数列；（3）求得，根据数列kn前8项依次递减，可得ana+b0对1n7（nZ）成立，根据数列bn是递增数列，故只要n7时，7aa+b6a+b0即可，关键b1a+b12，联立不等式作出可行域，即可得到结论【详解】（1）由题
17、意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），所以，因为，所以A1B1与A2B2不平行（2）因为an，bn为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，则ana1+（n1）d1，bnb1+（n1）d2，an+1a1+nd1，bn+1b1+nd2由题意所以b1+（n1）d2，所以，所以Sn+1Snd1d2是与n无关的常数，所以数列Sn是等差数列（3）因为An（an，0），Bn（0，bn），所以又数列kn前8项依次递减，所以0，对1n7（nZ）成立，即ana+b0对1n7（nZ）成立又数列bn是递增数列，所以a0，故只要n7时，7aa+b6a+b0即可又b1a+b12，联立不等式作出可行域（如右图所示），易得a1或2，当a1时，13b6即b13，12，11，10，9，8，7，有7个解；当a2时，14b12，即b14，13，有2个解，所以数列bn共有9个【点睛】本题考查数列与解析几何的综合，考查等差数列的定义及线性规划知识，考查了分析问题解决问题的能力，综合性强