1、松江二中2012年8月诊断性测试答案高 三 数 学一、填空题：1、已知，则 。【】2、方程的解为 。【1或3】3、若复数的实部与虚部互为相反数，则等于 。【】4、已知角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边在直线上，则 。【】5、在等差数列中，已知，则 。【100】6、已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则的值是 。【】7、已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的值是 。【】8、已知均为正数，且，则的最大值为 。【】9、用数学归纳法证明时，当时，其形式是 。【】10、已知是中的对边，是的面积，若， 则边长 。【或】11、已知是方程的两个虚根，且，则实数
2、的值为 。【】12、已知函数 若存在且，使得成立，则实数的取值范围是_。【】13、在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第项：，由此得，两边分别相加，得类比上述方法，请你计算“”，其结果是 。【】14、设非空集合满足：当时，有. 给出如下三个命题：若，则；若，则；若，则；若，则或.其中正确命题的是 。【】二、选择题：15、函数是奇函数的充要条件是 （ ）【B】A. B. C. D. 16、无穷等比数列的前项为，则该数列的各项和为 （ ）【B】A. B. C. D.17、设等差数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是 （ ）【A】A.， B.，C.， D.，18、某同学为研究函数的性质，
3、构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则则可推知函数的零点的个数是 （ ） 【A】 A. B. C. D.三、解答题：19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 。设函数的定义域为，函数 的定义域为。求；若，求实数的取值范围。解：，得 （6分） ，因为，得 （3分） 因为，所以或（2分），得（1分）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分。已知函数。当时，求函数的单调递减区间；当，且时，的值域为，求的值。解：当时，（4分）， 所以函数的单调递减区间是：，（4分），（2分） 因为，所以（3分），得到，（
4、1分）21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 。如图，建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为千米。某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米， 试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由。解:(1)在中,令,得. （2分）由条件知. ,（2分），当且仅当时取等号. （1分）炮的最大射程是10千米。（1分）(2),炮弹可以击中目标等价于存在,使成立, （2分）即关于的方程
5、有正根. （2分）由得。（2分）此时,(不考虑另一根). （1分）当不超过6千米时,炮弹可以击中目标。（1分） 22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设为数列的前项的积，即若，求的值；若数列各项都是正数，且满足，证明数列为等比数列，并求的通项公式；数列共有项，且满足以下条件： ； 等式对恒成立。试问符合条件的数列共有多少个？为什么？解：（1） （4分） （2）当时，所以，（1分） 当时，又，所以，（1分）则， 所以数列为等比数列，（2分），所以 （2分）（3），所以或（2分），是方程的一个实根，当数列前项确定后，其前项积确定，由可得到两个
6、，（2分），所以符合条件的数列共有个。（2分）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零. 记为所有这样的数表组成的集合. 对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，中的最小值.（1）对如下数表，求的值； （2）设数表形如 求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.解：（1）由题意可知，（6分）（2）先用反证法证明：若，则，同理可知，由题目所有数和为，即（2分），与题目条件矛盾，（2分）易知当时，存在，的最大值为1。（2分）（3）的最大值为.
7、（2分）首先构造满足的：，.经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，.下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.（2分）由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。（2分）
