1、名师新高考押题卷 4 命题人：湖南省长沙县一中正高级教师刘烈文责编：吴晓方1.若集合=|2 5 6 0,=|=ln(2 5)，则()=()A.(52,3B.(52,6C.(3,+)D.(6,+)2.已知复数=121+，则 的虚部是()A.32B.32C.12D.12 3.(2)6展开式中的常数项为()A.60B.64C.160D.2404.函数=2ln(+1)+sin的图象在=0处的切线对应的倾斜角为，则sin2=()A.310B.310C.35D.355.古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中指出：平面内与两定点距离的比为常数(0且 1)的点的轨迹是圆，已知平面内两点(5,0)，(
2、25,0)，直线:+2=0，曲线 C 上动点 P 满足|PB|PA|=2，则曲线 C 与直线 l 相交于两点，则|MN|的最短长度为()A.5B.10C.25D.2106.已知中，则AC NM=()A.12B.14C.16D.187.“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为13，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为()A.47B.56C.13D.578.已知三棱锥 中，=3,=3，三棱锥 体积为4113，则三棱锥
3、 外接球的表面积为()A.5B.20C.25D.1009.已知1 1 2B.|1D.ln2 ln210.高中提倡学生假期培养阅读习惯，提高阅读能力，某班级统计了假期阅读中英两本书籍的时长，其频率分布如下：则下列说法正确的是()阅读时长/天7654中文书籍0.50.30.10.1英文书籍0.40.30.20.1A.从阅读的的平均时长来看，中文书籍比外文书籍更受欢迎B.中、英文书籍阅读时长的第 40 百分位数都是 6 天C.若将频率视为概率，小华阅读中文和英文两本书籍，则阅读总时长少于的概率为0.04D.任选一本书籍，“阅读时长低于”与“阅读时长为”是对立事件11.已知函数()=|cosx|+2s
4、inx，则下列说法正确的是()A.直线=2为函数()图像的一条对称轴B.函数()图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2后得到()=|cos2|+2sin2C.函数()在2,2上单调递增D.函数()的值域为2,512.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线 C，其方程为2+2=4,024+29=1,0，则下列说法正确的是()A.曲线 C 包含的封闭图形内部(不含边界)有 11 个整数点(横、纵坐标均为整数)B.曲线 C 上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为 5C.若(0,5)、(0,5)，P 是曲线 C
5、 下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos的最小值为19D.画法几何的创始人加斯帕尔蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线 C 中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆:24+29=1(3 3)后，椭圆的蒙日圆方程为：2+2=1313.首届国家最高科学技术奖得主、杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高(单位：)服从正态分布(100,102)，若测量 10000 株水稻，株高在(80,90)的约有_株.14.已知等比数列各项均为正数，1=1，2、4为方程的两根，数列的
6、前 n 项和为，且=log2(+1)，求数列121的前 2022 项和为_.15.双曲线:22 22=1(0,0)的右焦点 F 关于渐近线的对称点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为_.16.已知()是函数()的导函数，且对任意的实数 x 的都有，且(0)=0，则函数()的解析式为_，若有 3 个交点，则m 的取值范围为_.17.在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.cos+cos=2cos，(+)(+)=3，求角 C 的大小；周长的最大值18.已知数列为等差数列，2=3，14=35，数列的前 n 项和为，且满足2=3 1.(1)求和的通项公式；，数列的前 n 项和为，且 3 0,
7、0)的离心率为12，左顶点为 A，上顶点为 B，|AB|=7.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)不过椭圆点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为,1,2，若(1+2)=2，证明：直线 l 过定点，并求出定点的坐标.22.已知函数()=2 2+(1)ln().(1)求函数()的单调区间；(2)当 4时，若方程()=ax2 +2在(0,1)内存在唯一实根0，求证：0 (14,1)答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考察集合的交集、补集运算，属于基础题先求出集合 A 的补集，再与集合 B 求交集即可【解答】解：化简后集合=|1 6，则，集合=|52，所以()=|6
8、.2.【答案】B【解析】【分析】本题考考查复数的除法运算、共轭复数、虚部的定义，属于基础题首先分式同乘以(1 )，化成复数 z 的一般形式，再得到共轭复数 的虚部【解答】解：复数=121+=(12)(1)(1+)(1)=132，则=12+32，虚部为32.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查二项式的展开式及通项公式，属于基础题先得到二项式的通项公式，再令 x 的指数为 0 得到项数，从而得到常数项大小【解答】解：(2)6的二项展开式的通项公式为+1=6 62 (2)=(2)6 632，令6 3=0，解得=2，此时展开式的常数项为(2)2 62=60.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数
9、的几何意义和同角三角函数的关系，属于基础题先求导，通过导数的几何意义得到函数在=0处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值【解答】解：导函数,=2+1+cos，当=0时，,=3，此时tan=3，sin2=2sin cos=2sin cossin2+cos2=2tantan2+1=69+1=35.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与圆之间的最短弦长问题，属于中档题首先通过设动点 P 坐标，结合边长间的关系得到曲线 C 的轨迹为圆，问题转化为直线与圆的最短弦长问题，直线 l 过定点，通过垂径定理求解即可【解答】解：设动点 P 的坐标为(,)，则|PB|2=(25)2+2，|P
10、A|2=(5)2+2由|PB|PA|=2得：|PB|2=2|PA|2 (25)2+2=2(5)2+2化简后得：曲线:2+2=10，故 P 点轨迹为圆，又直线 l 过定点(1,2)，则圆心到直线的距离的最大值为|OA|，的长度最短，此时：|MN|=22|OA|2=210 5=25.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理的应用，及向量的数量积，属于中档题首先明确以为基底分解NM，再与AC 求数量积即可【解答】解：AB AC=|AB|AC|cos=4 6 12=12，且NM=NB+BM=12 AB+13 BC=12 AB+13(AC AB)=16 AB+13 AC，所以：AC NM=
11、AC (16 AB+13 AC)=16 AB AC+13|AC|2=16 12+13 36=14.7.【答案】D【解析】【分析】本题考查条件概率，属于基础题本题为条件概率，分别计算“至少有两人选择花样滑冰”和“甲同学选择花样滑冰的同时，乙、丙至少有一人选择花样滑冰”的概率，即可求出条件概率【解答】解：记事件 A 为“至少有两人选择花样滑冰”，事件 B 为“甲同学选择花样滑冰”则：()=32(13)2 23+33(13)3=727，()=13 21 13 23+22(13)2=527.(|)=(AB)()=57.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的切接问题，属于较难题观察均为直角三角形，得
12、到点 P 为三棱锥 外接球的球心，且，可以通过设高|PO|结合求得底面正的边长 a，从而得到外接球半径|PA|，最后求得表面积【解答】解：如图，取SA中点 P，,，则,均为直角三角形，=，即点 P 为三棱锥 外接球球心，PA 即为外接球半径，又为等边三角形；作，垂足为 O，连接 OA，则 O 为的外心，设正三角形 ABC 的边长为 a，则=33 =33，SA2=AB2+SB2=2+32，即2=14(2+9)，外接球表面积为(2+9)，故排除 A；OP2=PA2 OA2=(SA2)2 OA2=2+324(33)2=94 212=13|OP|=13 34 2 94 212=124 2 27 2=1
13、2 =2113 2 27 2=1611，0 2 27，故排除 D；若(2+9)=20，则2=11，代入方程不成立，故排除 B；若(2+9)=25，则2=16，代入方程成立，故选.9.【答案】CBD【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，属于基础题首先简化条件，由的大小，再逐个分析选项，A 为易错点，当=0时错误，选项 B 需对绝对值化简，选项 C 需构造函数()=1，通过单调性比较大小，选项 D 先比较即可【解答】解：对于:1 1 0 0当=0时，2=2=0，选项 A 错误；对于 B：2|=2 (2)=2 2 0，即：|，选项 B 正确；对于 C：构造函数()=1，显然函数()在区间(,0)上
14、单调递增，0()()即 1 1，选项 C 正确；对于 D：2 ln2 ln2，选项 D 正确.10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查平均数、百分位数、简单概率求解、对立事件相关知识点的综合考查，属于基础题选项 A 更受欢迎可以通过阅读时长的平均数大小进行比较，选项 B 需要先由小到大进行排序，可得第 40 百分位数，选项 C 需要对两本书籍共阅读时长少于进行分类讨论，各自求概率，再求和，选项 D 为对立与互斥事件概念辨析【解答】解：对于 A：中文书籍的阅读时长为7 0.5+6 0.3+5 0.1+4 0.1=6.2天，英文书籍的阅读时长为7 0.4+6 0.3+5 0.2+4 0.1=6
15、天，所以中文书籍比英文书籍更受欢迎，选项 A 正确；对于 B：中、英文书籍阅读时长按从小到大排列，则第 40 百分位数均为 6 天；选项 B 正确；对于 C：阅读时长少于，则中、英文书籍的时间可以为(4,4)，(4,5)和(5,4)三种情况，概率为0.1 0.1+0.1 0.2+0.1 0.1=0.04，选项 C 正确；对于 D：“阅读时长低于”指阅读时长为，“阅读时长为”指阅读时长为，所以“阅读时长少于”与“阅读时长为”是互斥而不对立事件，选项D 错误.11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查三角函数对称轴、平移伸缩变换、单调性、值域，属于中档题选项 A 考查函数的对称性，利用()=()验
16、证更为简洁，选项 B 为函数伸缩、平移变换，选项 C 需要将()变为分段函数，求解其单调性，选项 D 需要将定义域 R 转化为一个周期2,32 后，探究()值域【解答】解：对于 A：()=|cos()|+2sin()=|cosx|+2sin=()，选项 A 正确；对于 B：函数()图像 x 缩短为原来的一半，得到(2)=|cos2|+2sin2，再向左平移2后得到()=|cos2(+2)|+2sin2(+2)=|cos2|2sin2，选项 B 错误；对于 C：当2 2时，()=|cosx|+2sin=cos+2sin=5sin(+)，其中tan=12，不妨令为锐角，2 2 2+2+，当2+2，
17、即单调递增，当2 +2+，即单调递减，选项 C 错误；对于 D：，探究()值域，而函数()的对称轴为：=2，因此：探究()值域，当2 2时，()=cos+2sin=5sin(+)，其中tan=12，2 2 2+2+sin(2+)=cos=25 sin(+)1，即：2 ()5，选项 D 正确.12.【答案】BCD【解析】【分析】本题为综合题型，考查学生联系已有圆锥曲线知识，对整体知识的理解掌握水平和分析能力，属于较难题选项 A 需要对曲线分 5 类讨论，由 x 判断对应 y 的范围，从而得到整数点个数，选项B 借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题，选项 C 由椭圆定义可得到之和为定值，由基本不等
18、式可以得到乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos的最小值，选项 D 中分析蒙日圆的关键信息，简化求解【解答】解：对于 A：曲线，当 时，分 5 类讨论：=2 1012可得：整数点为(1,1),(1,0),(1,1),(1,2),(0,0),(1,1),(1,0)、(1,1),(1,2)，所以：整数点有 9 个，选项 A 错误；对于 B：曲线 C 中，当此时与原点距离为 2，当设半椭圆上动点 P 坐标为(2cos,3sin)，,2，则|OP|2=(2cos)2+(3sin)2=4cos2+9sin2=9 5cos2 9 2|OP|3，最大值与最小值之和为 5，选项 B 正确；对于 C：又(0,
19、5)、(0,5)恰为椭圆24+29=1的两个焦点，那么|PA|+|PB|=6，|PA|PB|(|PA|+|PB|2)2=9当且仅当|=|，即 P 在 x 轴上时，等号成立，在中，|AB|=25，由余弦定理知：cos=|PA|2+|PB|2|AB|22|PA|PB|=(|PA|+|PB|)2|AB|2 2|PA|PB|2|PA|PB|=62 20 2|PA|PB|2|PA|PB|=8|PA|PB|189 1=19，选项 C 正确；对于 D：由题意知：蒙日圆的圆心 O 坐标为原点(0,0)，在椭圆:24+29=1(3 3)中取两条切线：，它们交点为(2,3)，该点在蒙日圆上，半径为22+32=13
20、，此时蒙日圆方程为：2+2=13，选项 D 正确.13.【答案】1359【解析】【分析】本题为正态分布的常规考法，计算简单，属于基础题首先得到正态分布中=100，=10，观察所以(80 90)=12(2 2)()=0.1359.【解答】解：由 (,2)知；=100，=10(80 90)=(2 )=12(0.9544 0.6826)=0.1359，10000株水稻，株高在(80,90)的约有 1359 株.14.【答案】20224045【解析】【分析】本题考查裂项相消法求和，逻辑严密，较为综合，属于中档题分析题意，首先按条件求得等比数列前 n 项和为，代入121中可看出可以通过裂项相消法求和，注
21、意裂项后系数不为1.【解答】解：等比数列、4为方程2+16=0的两根，=log2(+1)=log22=2，121=1421=1(21)(2+1)=12(121 12+1)，数列121的前 2022 项和为：12(1 13+13 15+15 17+14043 14045)=12(1 14045)=2022404515.【答案】5【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率，数形结合，属于中档题利用双曲线中焦点到同侧渐近线的距离为 b，再结合双曲线定义可以得到的等式，最终得到双曲线的离心率【解答】解：如图，为双曲线的左焦点，焦点 F 关于渐近线的对称点为点 A，则 ，B 为 AF 中点，故/OBF中，
22、|OF|=，则|OB|=,|BF|=，且中，的中位线，所以|=2|=2|=2|=2，由双曲线定义知：，即 2 2=2 =2 =5综上：双曲线的离心率=5.16.【答案】()=2 (0,42)【解析】【分析】本题考查通过构造函数求解析式及交点个数问题，属于中档题本题关键之处在于对2()=2+2()进行等式变换，构造新函数2()，从而得到()的解析式，通过求导得到函数图像求得 m 的取值范围【解答】解：；又，且，令，则0 0且()0，函数：有 3 个交点时，0 42所以：(0,42)17.【答案】解：选cos+cos=2cos，得sincos+sincos=2sincos sin(+)=sin=2
23、sincos (0,)，sin 0 cos=12(0 )=3；选(+)(+)=3 (+)2 2=3 2=2+2 2=2+2 2cos cos=12(0 3=1 3对 恒成立，当 n 为奇数时，(1)=1 3 3 1 1 3 (1 3)max=1 32=8，综上：实数 m 的取值范围为 (8,2).【解析】本题为等差、等比数列通项及错位相减法与最值的考查，计算适中、过程清晰明了，属于中档题(1)为等差数列通项公式的求解，只需设参数1,即可，数列通过已知前 n 项和；(2)需要先用错位相减法求得数列的前 n 项和为，代入不等式中对 n 分类讨论，转化为最值问题，求出 m 范围即可19.【答案】解：
24、(1)由题意完善2 2列联表：运动达人参与者合计男生7050120女生503080合计12080200此时：2=200(70305050)21208012080=2572 0.35 2.706所以：在犯错误概率不超过0.1的前提下不能认为获得“运动达人”称号与性别有关；(2)由题意知：选取的 8 人运动参与者中男生 5 人，女生 3 人则 X 服从超几何分布，X 的所有可能情况为：0、1、2、3且(=0)=5083=156；(=1)=513283=1556；(=2)=523183=3056=1528；(=3)=5383=1056=528；X 的分布列为：X0123P15615561528528
25、()=0 156+1 1556+2 1528+3 528=158.【解析】本题考查2 2列联表判断两个变量间的相关性以及超几何分布的分布列及期望，属于中档题(1)先完善表格信息，通过卡方检验中计算2与2.706比较大小从而判断在犯错误概率不超过0.1的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；(2)判断 X 服从超几何分布概型，得到 X 的分布列与期望EX.20.【答案】(1)证明：连接AB1，1=，1 ，四边形11为正方形 1 1，直三棱柱 111中，则AA1 ，1=平面11，又1 底面11 1，又1 AB1，1 ，又，1 1(2)如图，以AB，AC，1为，y，z 轴建立空间直角坐标系，
26、则(0,0,0)，(2,0,0)设1=11=(2,0,0)=(2,0,0),0 1，(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)NP=(2 1,1,2)，NM=(1,1,1)，设平面PMN的一个法向量为=(,)，则NP =0NM =0即(2 1)+2=0+=0，令=3，解得1=(3,2+1,2 2)，又平面 ABC 的一个法向量为2=(0,0,1)|cos1,2|=|1 2|1|2|=|22|9+(2+1)2+(22)2=22824+14=42121，112+26+35=0，又 0时，令，解得，令，1，0 0时，()的单调递增区间为(1,+)，单调递减区间为(0,1).(2)由题意知：当 4
27、时，方程内存在唯一根0，令()=2 2 +ln+2，则()=+1=2+1,(0+)，当 4时，=2 4 0，则2 +1=0有两个不相等的实数根1,2，又1+2=1，12=1 0，故1,2 (0,1)，设0 1 12 2 0，则0 2，则当 (0,1)时()单调递增，当 (1,2)时()单调递减，当 (2,1)时()单调递增，又(1)=0，且()在(0,1)内存在唯一零点0，则(1)=0，即0=1，即由得：=1002，代入得ln0+120 12=0.令()=ln+12 12，(0,12)，则()=1 122=2122，当 (0,12)时，()0，()在(0,12)上单调递减，又(1)=ln1+2 12=2 32 0，()在区间(1,14)有且仅有一个零点，即 0 (14,1).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及通过构造函数求解零点区间的证明问题，属于较难题.(1)先判断定义域，再求导后对参数 a 进行分类讨论得到函数()的单调区间；(2)构造函数()=2 2 +ln+2=0，求导后得到单调性，由()在(0,1)内有唯一零点0且(1)=0推断出当 x 等于零点0时，最后转化为零点在，利用单调性及零点的存在性定理可证明得到0 (14,1).