1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第二课时 求空间角和距离第六章 立体几何考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关最新考纲核心素养考情聚焦1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用2.能用向量法解决空间的距离问题1.异面直线所成角、直线与平面所成角及二面角的求解，提升数学建模、数学运算和数学抽象的素养2.点面距的求解，达成数学建模、数学运算和数学抽象的素养2020年高考预计考查：1.空间角(线线角、线面角、面面角)2.空间距离3.探索性问题首先建立适当的坐标系，找准点的坐标，把所有问题转化为坐标运算主要以解答题的第二问出现，
2、难度不大，属中档题型，但要注意运算的准确性考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关1求异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则a 与 b 的夹角 l1 与 l2 所成的角 范围0，0，2 求法cos ab|a|b|cos|cos|ab|a|b|考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关2.直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为，两向量 e 与 n 的夹角为，则有 sin|cos|en|e|n|，的取值范围是0，2.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3求二面角的大小(1)如图，AB
3、，CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB，CD(2)如图，n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面，的法向量，则二面角的大小 满足 cos cos n1，n2，或cosn1，n2，取值范围是0，考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关4求空间的距离(1)两点间的距离设 点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|AB|x1x22y1y22z1z22.(2)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段，n 为平面 的法向量，则 B 到平面 的距离为|BO|ABn|n|.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关思考辨析 判断
4、下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是0，()答案：(1)(2)(3)(4)考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关小题查验1(人教 A 版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或 135
5、D90解析：C cosm，n mn|m|n|11 2 22，即m，n45.两平面所成二面角为 45或 18045135.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关2在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1底面 ABC，ABBCAA1，ABC90，点 E，F 分别是棱 AB，BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1所成的角是()A45 B60 C90 D120解析：B 如图所示，以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB 1为 z轴，建立空间直角坐标系设 A BBC A A 12，考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关C 1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)EF(0，1,1
6、)，BC 1(2,0,2)EFBC 1 2，记EF，BC 1 所成角为.cos222212.EF 和 BC 1所成角为 60.故选 B.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3(2019广州市模拟)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB2，BCAA11，则 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 _.解析：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 A1(1,0,1)，C1(0,2,1)，(1,2,0)，A1B(0,2，1)，A1C1(1,2,0)考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关设 n(x，y，z)为平面
7、A1BC1 的法向量，则nA1B 0，nA1C1 0，即2yz0，x2y0，令 z2，则 y1，x2，于是 n(2,1,2)，D1C1(0,2,0)，设所求线面角为，则 sin|cosn，D1C1|13.答案：13考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关4已知 ABCDA1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体，E，F 分别是棱AB，BC 上的动点，且 AEBF.当 A1，E，F，C1 共面时，平面 A1DE与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为 _.解析：以 D 为原点，D A，D C，D D 1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，易知当 E(6,3,0)，F
8、(3,6,0)时，A 1，E，F，C 1四点共面设平面 A 1D E 的法向量为 n1(a，b，c)，依题意得 n1D E 6a3b0，n1D A 1 6a6c0.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关可取 n1(1,2,1)，同理可得平面C 1D F 的一个法向量为 n2(2，1,1)故平面 A 1D E 与平面 C 1D F 所成二面角的余弦值为|n1n2|n1|n2|12.答案：12考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关5在四面体 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，设 PAPBPCa，则点 P 到平面 ABC 的距离为 _.解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系
9、Pxyz，则 P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点 P 作 PH平面 ABC，交平面 ABC 于点 H，则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关PAPBPC，H 为ABC 的外心又ABC 为正三角形，H 为ABC 的重心，可得 H 点的坐标为a3，a3，a3.PHa30 2a30 2a30 2 33 a.点 P 到平面 ABC 的距离为 33 a.答案：33 a考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点一 异面直线所成角(自主练透)题组集训1在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AB2，CC1 2，
10、则异面直线 AB1 和 BC1 所成角的正弦值为()A1 B.77 C.12 D.32考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：A 取线段 A1B1，AB 的中点分别为 O，D，则 OC1平面 ABB1A1，建立以 O为坐标原点，以OB1，OC1，OD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则 A(1,0，2)，B1(1,0,0)，B(1,0，2)，C1(0，3，0)，AB1(2,0，2)，BC1(1，3，2)，因为AB1 BC1(2,0，2)(1，3，2)0，所以AB1 BC1，即异面直线 AB1 和 BC1 所成角为直角，则其正弦值为 1.故选
11、A.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关2在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 BCAC，BAC3，AC4，点 M 为 AA1 的中点，点 P 为 BM 的中点，Q 在线段 CA1 上，且A1Q3QC，则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为 _.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：由题意，以 C 为原点，以 AC 边所在直线为 x 轴，以 BC边所在直线为 y 轴，以 CC1边所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示设棱柱的高为 a，由BAC3，AC4，得 BC4 3，所以 A(4,0,0)，B(0,4 3，0)，C(0,0,0)，A1(4,0，a)，B1(0，
12、4 3，a)，C1(0,0，a)，M4，0，a2，P2，2 3，a4，Q1，0，a4.所以QP(1,2 3，0)，CA(4,0,0)设异面直线 QP 与 CA 所成的角为.所以|cos|QPCA|QP|CA|142 3000|1341313.所以 sin 2 3913，考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关因为异面直线所成角的正弦值为正，所以 sin 2 3913 即为所求答案：2 3913考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关3.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为边长为 2 的正方形，它们所在的平面互相垂直，若点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB，BC 的中点，设异
13、面直线 EM 与 AF 所成的角为，且 cos 130，则 PM _.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：以 A B，A D，A Q 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，依题意，设 M(0，y,2)(0y2)，则 A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，EM(1，y,2)，|EM|y25，A F(2,1,0)，|A F|5，考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关 cos|EM A F|EM|A F|y2|5y25 2y5y25，从 而2y5y25130，化简得(5y19)(y1)0.y1，y195(舍去)，因此 PM 2
14、11.答案：1考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关向量法求异面直线所成角的方法(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量 v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|v1v2|v1|v2|求解提醒：两异面直线所成角 的范围是0，2，两向量的夹角 的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，就是该异面直线夹角的补角考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点二 直线与平面所成角(师生共研)典例(2018全国卷)如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DF
15、C 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF.(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析(1)由已知可得，BFPF，BFEF，又 PFEFF，所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.(2)作 PHEF，垂足为 H.由(1)得，PH平面 ABFD.以 H 为坐标原点，HF 的方向为 y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关由(1)可得，DEPE.设 DP2，DE1，所以 PE 3.又
16、PF1，EF2，故 PEPF.可得 PH 32，EH32.则 H(0,0,0)，P0，0，32，D1，32，0，DP 1，32，32，HP 0，0，32 为平面 ABFD 的法向量设 DP 与平面 ABFD 所成角为，则 sin HP DP|HP|DP|343 34.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 34.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角考点层级突破第六
17、章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2018江苏卷)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAA12，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点(1)求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值；(2)求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1，则 OBOC，OO1OC，OO1OB，以OB，OC，OO1 为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz.因为 ABAA12，所以 A(0，1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(3，0,
18、2)，C1(0,1,2)考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(1)因为 P 为 A1B1 的中点，所以 P32，12，2，从而BP 32，12，2，AC1(0,2,2)，故|cos BP，AC1|BPAC1|BP|AC1|14|52 23 1020.因此，异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为3 1020.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(2)因为 Q 为 BC 的中点，所以 Q32，12，0，因此AQ 32，32，0，AC1(0,2,2)，CC1(0,0,2)设 n(x，y，z)为平面 AQC1 的一个法向量，则AQ n0，AC1 n0，即 32 x32y0，2y2z0
19、.不妨取 n(3，1,1)，设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为，则 sin|cosCC1，n|CC1 n|CC1|n|252 55，所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 55.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点三 二面角(师生共研)典例(2019全国卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BEEC1.(1)证明：BE平面 EB1C1；(2)若 AEA1E，求二面角 BECC1 的正弦值考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解(1)由已知得，B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故B1C
20、1BE.又 BEEC1，所以 BE平面 EB1C1.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(2)由(1)知BEB190，由题设知 RtABERtA1B1E，所以AEB45，故 AEAB，AA12AB.以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，CB(1,0,0)，CE(1，1,1)，CC1(0,0,2)设平面 EBC 的法向量为 n(x，y，z)，则CBn0，CEn0，即x0，xyz0，考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关所以可取 n(0，1，1)
21、设平面 ECC1 的法向量为 m(x，y，z)，则CC1 m0，CEm0，即2z0，xyz0，所以可取 m(1,1,0)于是 cosn，m nm|n|m|12，则 sinn，m2，所以，二面角 BECC1 的正弦值为 32.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关利用向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小考点层级突破第六章基础
22、自主夯实课时分组冲关跟踪训练(2019全国卷)图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面BCGE；(2)求图 2 中的二面角 BCGA 的大小考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析：很新颖的立体几何考题首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题
23、考查考生的空间想象能力(1)证：ADBE，BFCG，又因为 E 和 F 粘在一起ADCG，A，C，G，D 四点共面又ABBE，ABBC.AB平面 BCGE，AB平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(2)过 B 作 BHGC 延长线于 H，连接 AH，因为 AB平面 BCGE，所以 ABGC而又 BHGC，故 GC平面 HAB，所以 AHGC.又因为 BHGC 所以BHA 是二面角 BCGA 的平面角，而在BHC 中BHC90，又因为FBC60故BCH60，所以 BHBCsin 60 3.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关而在ABH 中AB
24、H90，BHAarctanABBHarctan 1330，即二面角 BCGA 的度数为 30.答案：(1)见详解；(2)30考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点四 点面距(师生共研)典例 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面AEC1F 所截而得到的，其中 AB4，BC2，CC13，BE1.(1)求 BF 的长；(2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则各相关点的坐标为 D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)
25、设F(0,0，z)考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关AEC1F 为平行四边形，AFEC1，(2,0，z)(2,0,2)，z2.F(0,0,2)BF(2，4,2)，|BF|2 6，即 BF 的长为 2 6.(2)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量，显然 n1 不垂直于平面 ADF，故可设 n1(x，y,1)由n1AE0，n1AF0，得0 x4y10，2x0y20，考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关即4y10，2x20，x1，y14，则 n11，14，1.又CC1(0,0,3)，设CC1 与 n1 的夹角为，则 cos CC1 n1|CC1|n1|331 11614 3333.
26、C 到平面 AEC1F 的距离为d|CC1|cos 34 3333 4 3311.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关求点到面的距离主要方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)在三棱锥中用等体积法求解(3)向量法：d|nMA|n|(n 为平面的法向量，A 为平面上一点，MA为过 A 点的斜线段)考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关跟踪训练三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1平面 ABC，ACBC12AA1，D是棱 AA1 的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)设 AA12，A1B1 的中点为 P，求点 P 到平面 BDC1 的距离考点层级突破第
27、六章基础自主夯实课时分组冲关解：(1)证明：如图所示，由题设知，三棱柱的侧面为矩形 由于 D 为 AA1的中点，故 DCDC1.又 AC12AA1，可得 DC21DC2CC21，所以 DC1DC.DC1BD，DCBDD，所以 DC1平面 BCD.因为 BC平面 BCD，所以 DC1BC.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关(2)由(1)知 BCDC1，且 BCCC1，则 BC平面 ACC1A1，所以 CA，CB，CC1两两垂直考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关以 C 为坐标原点，CA的方向为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.由 题 意 知 B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，P12，12，2，则BD(1，1,1)，DC1(1,0,1)，PC112，12，0.设 m(x，y，z)是平面 BDC1的法向量，则 mBD0，mDC10，即 xyz0，xz0，可取 m(1,2,1)设点 P 到平面 BDC1的距离为 d，则 dPC1m|m|64.考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关考点层级突破第六章基础自主夯实课时分组冲关