1、第二节导数的应用第1课时导数与函数的单调性一、教材概念结论性质重现导数与函数的单调性的关系条件结论函数yf (x)在区间(a，b)上可导f (x)0f (x)在(a，b)内单调递增f (x)0在区间(a，b)上成立”是“f (x)在区间(a，b)上单调递增”的充分不必要条件二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)若函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么一定有f (x)0.()(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f (x)0，则f (x)在此区间内不具有单调性()(3)若在区间(a，b)内f (x)0且f (x)0的根为有限个，则f (x)在区间(a
2、，b)内是减函数()2函数yf (x)的导函数yf (x)的图象如图所示，则函数yf (x)的图象可能是() D解析：由导函数的图象可知函数在(，0)上是先减后增，在(0，)上先增后减再增故选D3函数f (x)x33x1的单调递增区间是()A(1,1) B(，1)C(1，) D(，1)，(1，)D解析：f (x)3x23.由f (x)0得x1.故函数f (x)x33x1的单调递增区间是(，1)，(1，)故选D4已知函数f (x)，则()Af (2)f (e)f (3) Bf (3)f (e)f (2)Cf (3)f (2)f (e) Df (e)f (3)f (2)D解析：f (x)的定义域是
3、(0，)因为f (x)，所以x(0，e)时，f (x)0；x(e，)时，f (x)f (3)f (2)5若函数f (x)sin xkx在(0，)上是增函数，则实数k的取值范围为_1，)解析：因为f (x)cos xk0，所以kcos x，x(0，)恒成立当x(0，)时，1cos x0，即8x0，解得x，所以函数y4x2的单调递增区间为.故选B2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1) B(0,1)C(1，)D(0，)B解析：yx2ln x，yx(x0)令y0，得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f (x)的单调递增区间为，.求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域；(
4、2)求f (x)；(3)在定义域内解不等式f (x)0，得函数f (x)的单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f (x)0，则当x(，0)时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减若a0，则f (x)在(，)上单调递增若a0；当x时，f (x)0，所以f (x)在(0，)上为增函数(2)当a0时，f (x)，则有：当x(0，)时，f (x)0，所以f (x)的单调递增区间为(，)综上所述，当a0时，f (x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当a0时，函数f (x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)解决含参数的函数单调性问题的
5、注意点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点已知f (x)axex2aexx2x，求f (x)的单调区间解：f (x)的导函数为f (x)(x1)(aex1)(1)当a0时，f (x)(x1)若x1，则f (x)0，f (x)单调递减；若x1，则f (x)0，f (x)单调递增(2)当a0时，若x1，则f (x)0，f (x)单调递减；若x1，则f (x)0，f (x)单调递增(3)当a0时，若a，则f (x)(x1)(ex11)0，f (x)在R上单调递增若a，则f (x)0
6、，即为(x1)0，可得x1或xln ；f (x)0，即为(x1)0，可得ln x1.若0a，则f (x)0，即为(x1)0，可得x1或xln ；f (x)0，即为(x1)0，可得1xln .综上，当a0时，f (x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)；当a时，f (x)的单调递增区间为R；当a时，f (x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为；当0a时，f (x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为.考点3导数与函数单调性的简单应用综合性考向1利用导数解不等式若函数f (x)exexsin 2x，则满足f (2x21)f (x)0的x的取值范围是()AB(，1)CD(1，
7、)B解析：函数f (x)exexsin 2x，定义域为R，且满足f (x)exexsin(2x)(exexsin 2x)f (x)，所以f (x)为R上的奇函数又f (x)exex2cos 2x22cos 2x0恒成立，所以f (x)为R上的单调递增函数由f (2x21)f (x)0，得f (2x21)f (x)f (x)，所以2x21x，即2x2x10，解得x1或x.所以x的取值范围是(，1).故选B利用导数解不等式的关键，是用导数判断函数的单调性，或者构造函数后使用导数同时根据奇偶性变换不等式为f (g(x)f (h(x)，利用单调性得出关于g(x)，h(x)的不等式，解此不等式得出范围考
8、向2利用导数比较大小(多选题)(2021滨州期末)已知定义在上的函数f (x)的导函数为f (x)，且f (0)0，f (x)cos xf (x)sin x0，则下列判断中正确的是()Af 0Cf f Df f CD解析：令g(x)，x，则g(x).因为f (x)cos xf (x)sin x0，所以g(x)，所以gg，所以，即f f ，故A错误；又f (0)0，所以g(0)0，所以g(x)0在上恒成立因为ln ，所以f ，所以gg，所以，即f f ，故C正确；因为，所以gg，所以，即f f ，故D正确故选CD利用导数比较大小的方法利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件中的不等关系构造辅助函
9、数，并得到辅助函数的单调性，进而根据单调性比较大小考向3利用导数求参数的取值范围已知函数f (x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f (x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f (x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解：(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围为(1，0)(0，)(2)因为h(x)在1,4上单调递
10、减，所以当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立由(1)知G(x)，所以aG(x)max.而G(x)1.因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a.又因为a0，所以a的取值范围是(0，)本例第(2)问中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解：若h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，所以当x1,4时，a有解又当x1,4时，min1，所以a1.又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)根据函数的单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf (x)在区间(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)
11、f (x)单调递增的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f (x)不恒为零，要注意等号是否可以取到(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别分离参数后对应不同的最值类型1已知定义域为R的奇函数yf (x)的导函数为yf (x)当x0时，xf (x)f (x)0.若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBbcaCacbDca0时，xf f (x)0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上是减函数由f (x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，所以
12、g(3)g(e)g(ln 2)，故ca0，且a1，函数f (x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是()A(1,5B2,5C(1，)D(，5B解析：函数f (x)在R上单调递增，则a1.当x1时，f (x)x2aln x，则f (x)2x，则2x3ax40在1，)上恒成立所以a2x2在1，)上恒成立因为y2x2在1，)上单调递减，所以ymax2，则a2.当x1时，a145.综上，实数a的取值范围是2,5故选B3已知函数f (x)x2cos x，x，则满足f (x0)f 的x0的取值范围为_ 解析：f (x)2xsin x当x时，f (x)0，所以f (x)在上单调递增由f (x0)f ，知x0
13、.又因为f (x)f (x)，所以f (x)为偶函数，所以x0，得x1；令f (x)0，得0x1.所以f (x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)(2)由题意g(x)x2aln x，g(x)2x.若函数g(x)为1，)上的单调递增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立设(x)2x2.因为(x)在1，)上单调递减，所以(x)max(1)0，所以a0.若函数g(x)为1，)上的单调递减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立因为(x)没有最小值，不满足题意所以实数a的取值范围为0，).若函数f (x)x3ax21在区间1,2上单调递减，
14、求实数a的取值范围四字程序读想算思求实数a的取值范围1.利用导数研究函数单调性的方法；2.从什么角度列不等式求取值范围？1.求f (x)；2.解不等式f (x)0转化与化归、数形结合f (x)在1,2上单调递减由函数f (x)在区间a，b上单调递增(减)可知f (x)0(f (x)0)在区间a，b上恒成立，列出不等式f (x)3x22ax x(3x2a)1.函数最值；2.不等式恒成立；3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系思路参考：等价转化为f (x)0对x1,2恒成立，分离变量求最值解：f (x)3x22ax.由f (x)在1,2上单调递减知f (x)0，即3x22ax0在1,
15、2上恒成立，即ax在1,2上恒成立故只需amax，故a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：等价转化为f (x)0对x1,2恒成立，数形结合列不等式组求范围解：f (x)3x22ax.由f (x)在1,2上单调递减知f (x)0对x1,2恒成立所以解得a3.所以a的取值范围是3，)思路参考：分类讨论f (x)的单调性，根据区间1,2是单调递减区间的子集求参数范围解：f (x)3x22ax.当a0时，f (x)0，故yf (x)在(，)上单调递增，与yf (x)在区间1,2上单调递减不符，舍去当a0时，由f (x)得0xa，即f (x)的单调递减区间为.由f (x)在1,2上单调递减得a2，得a
16、3.综上可知，a的取值范围是3，)1本题考查函数的单调性与导数的关系，解法较多，基本解题策略是转化为不等式恒成立问题，即“若函数f (x)在区间D上单调递增，则f (x)0对xD恒成立；若函数f (x)在区间D上单调递减，则f (x)0对xD恒成立”或利用集合间的包含关系处理；若yf (x)在区间D上单调，则区间D是相应单调区间的子集2基于课程标准，解答本题一般需要运算求解能力、推理论证能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养3基于高考数学评价体系，本题利用函数的单调性与导函数的关系，将所求问题转化为熟悉的数学模型，解题过程需要知识之间的转化，体现了综合性1已知函数f (x)2cos x(ms
17、in x)3x在(，)上单调递减，则实数m的取值范围是()A1,1BCDB解析：f (x)2sin x(msin x)2cos x(cos x)3.因为f (x)在(，)上单调递减，所以f (x)0恒成立，整理得4sin2x2msin x50.设sin xt(1t1)，则不等式g(t)4t22mt50在区间1,1上恒成立于是有即故实数m的取值范围是.故选B2已知函数f (x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_(0,27)解析：(方法一：间接法)若f (x)x3kx在(3,1)上是单调递增函数，则f (x)3x2k0在(3,1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k0.若f (x)x3kx在(3,1)上是单调递减函数，则f (x)3x2k0在(3，1)上恒成立，即k3x2在(3,1)上恒成立，故k27.所以当函数f (x)x3kx在(3,1)上是单调函数时，实数k的取值范围是k0或k27，当函数f (x)x3kx在(3,1)上不是单调函数时，实数k的取值范围是0k0时，由f (x)3x2k0，得x0，得x.在，上f (x)是增函数要满足函数f (x)x3kx在(3,1)上不是单调函数，由对称性得，3，所以k27.综上所述，实数k的取值范围是(0,27)
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