1、考点 11空间向量求异面直线所成的角求直线与平面所成的角求二面角的大小求距离利用空间向量解立体几何中的探索问题利用空间向量求角和距离经典易错题会诊命题角度 1求异面直线所成的角1（典型例题）如图 11-1，四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面 ABCD，且 PA=AD=DC=21 AB=1，M 是 PB 的中点。（1）证明：面 PAD面 PCD；（2）求 AC 与 PB 所成的角；（3）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角 A-CM-B 的大小。考场错解 第（2）问。PA底面 ABCD，且DAB=90AD、AB、AP 两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则
2、A（0，0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），AC=（1，1，0），PB=（0，-2，1），cos=510|PBACPBACAC 与 PB 所成的角为 arccos(-510).专家把脉 上述错解中有两个错误：（1）PB 的坐标应用 B 的坐标减 P 的坐标，PB=（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0，90），而 arccos(-510)为钝角，cos=.|PBACPBAC对症下药（1）PA底面 ABCD，PACD，又 CDAD，CD平面 PAD，又
3、CD 平面PCD，平面图 PAD平面 PCD。（2）PA底面 ABCD，PACD，PAAB，又 ADAB，可以建立如图所示空间坐标系，则由已知 A（0，0，0）、C（1，1，0）、B（0，2，0）、P（0，0，1）AC=（1，1，0），PB=（0，2，-1），设 AC 与 PB 成角为，则 cos=510|PBACPBAC,AC 与 PB 所成的角为arccos510.(3)M 为 PB 的中点，M（0，1，21），AM=（0，1，21），AC=（1，1，0）设 n1=(x,y,z)为平面 AMC 的法向量，则 n1 AM,n1 AC,y=21 z=0,x+y=0,令 x=1,得 y=-1,z
4、=2,n1=(1,-1,2)为平面 AMC 的一个法向量，同理可求得 n2=(1,1,2)为平面 BMC 的一个法向量，n1、n2 的夹角为 arccos32,而从图中可看出 A-MC-B 为钝角，二面角 A-CM-B 的大小为32arccos。2（典型例题）如图 11-2，在直四棱术 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=AD=2，DC=23，AA1=3，ADDC，ACBD，垂足为 E。（1）求证 BDA1C；（2）求二面角 A1-BD-C1 的大小；（3）求异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小。考场错解第（3）问，由已知 AD、DC、DD1 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
5、A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2，23，0）C1（0，23，3）AD（-2，0，0）1BC=（-2，0，3）。cos=|11BCADBCAD=,772724AD 与 BC1 所成的角为arccos772.专家把脉 B 点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为 ABAD,BCCD,本题还会出现以 BD 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为z 轴的建立坐标系的错误.对症下药(1)ABCDA1B1C1D1 为直四棱柱。AA1底面 ABCD，A1C 在底面 ABCD 上的射影为 AC，又由已知 AC依三垂线定理可得 BDA1C。（2）如图，以 D 为坐标原点，DA、DD1
6、所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系。连接 A1E1、C1E1、AG1。与（1）同理可证，BDA1E1，BDC1E1，A1EC1 为二面角 A1-BD-C1 的平面角。由A1（2，03）、C1（0，23，3）、E（0,23,23），得,034943),3,233,23(),3,23,21(111111ECEAECEAECEA即 EA1EC1。二面角 A1-BD-C1 的大小为 90。（3）在平面 ABCD 中，过 A 作 BFAD，交 DA 的延长线于 F，由 AD=2，CD=23，得 AC=4，DAE=60，AE=1，在 RtAEB中，AB=2，AE=1，BAE=60，
7、在 RtAFB 中 AB=2，BAF=60，BF=3，AF=1，DF=2+1=3，B 的坐标为（3，3，0）由D（0，0，0）、A（2，0，0）、C1（0，23，3）、B（3，3，0），得,15|,2|.6),3,3,3(),0,0,2(111BCADBCADBCADcos（AD、1BC）=5151526|1BCADBCAD，异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小为 arccos515。本题还可以 E 为坐标原点，EB、EC 分别为 x 轴和 y 轴，则 z 轴与 AA1 平行，E（0，0，0）、A1（0，-1，3）、C1（0，3，3）B（3，）0，0）、D（3-，0，0）、A（0，-1，0
8、），其中 A1、D、A 的坐标容易求错。专家会诊利用空间向量求异面直线所成的角，公式为 cos,|baba关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作 x 轴、y 轴、z 轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作 x 轴、y 轴、z 轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如 x 轴上的点坐标为（a，0，0），xoz 面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例 2，求 B 的坐标。考场思维训练1已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2a
9、,高为 b，求异面直线 AC1 和 A1B 所成的角。答案：如图：ABC-A1B1C1 为正三棱柱，AA1平面空间直角坐标系.则 A（0，0，0）、A1（0，0，b）、B（a,3 a,0）、C1（2a,0,b）,),3,(),0,2(11baaBAbaAC cos =,22,4|2|22221111时当bababaBAACBAACAC1与A1B所 成 的 角 为arc cos,22;422222时当bababa AC1 与 A1Ba 所成的角为-arc cos222242baba.2如图 11-4，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D，BD 的中点，G
10、在CD 上，且 CG=41 CD，H 为 C1G 的中点。（1）求证：EFB1C；答案：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知有 E（0，0，21）、F（21，21，0）、C（0，1，0）、B1（1，1，1）、G（0，43，0）（1）得,0).1,0,1()21,21,21(11CBEFCBEFEFB1C.（2）求 EF 与 C1G 所成角的余弦；答案：GC1(0,43,0)-(0,1,1)=(0,-41,-1),83,23|,417|11GCEFEFGC cos=.17512341783（3）求 FH 的长。答 案：由 中 点 坐 标 公 式，得 H 的 坐 标 为（0，21,87）又 F（2
11、1，21，0）,FH(-21,83,21),FH=.841|FH3如图 11-5 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，PA=AB=1，BC=2。（1）求证：平面 PAD平面 PCD；答案：由已知 PA平面 ABCD，又 ABCD 为矩形，CDAD,CD平面 PAD，面 PAD面 PCD.（2）若 E 是 PD 的中点，求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值；答案：A(0,0,0)、P（0，0，1）、D（0，2，0），E 为 PD 中点，E(0,1,21)、C（1，2，0），,1030256212,cos),1,2,1(),21,1,0(AEPCPCAE AE
12、与 PC 所成角的余弦值为1030（3）在 BC 边上是否存在一点 G，使得 D 点在平面 PAG 的距离为 1，如果存在，求出 BG 的值；如果不存在，请说明理由。答案：假设 BC 边上存在一点 G 满足 D 到 PAG 的距离为 1，设 G（1，y,0）,则 AP=（0,0,1）AG=(1,y,0),设 n=(a、b、c)为平面 PAG 的一个法向量，由 n AP,得 c=0,由 n AG，得 a+by=0,令 a=1,得 b=-y1,n=(1,-y1,0)为平面 PAG 的一个法向量，d=1|nADn,解得 y=3,BC 上存在一点 G，BG=3，使得 D 到平面 PAG 的距离为 1.
13、命题角度 2求直线与平面所成的角1（典型例题）如图在三棱锥 PABC 中，ABBC，AB=BC=KPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC。（1）当 k=21 时，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小；（2）当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？考场错解（1）POOC，POOB，又 AB=BC，O 为 AC 的中点，BOOC，以 O 为坐标原点，OB、OC、OP 所在直线 x、y、z轴建立穿间直角坐标系，则 O（0，0，0）、C（0，a,0）其中设 AC=2a，A（0，-a,0）P(0,0,a7)、B（a,0,0）PA=(0,-a,-7
14、 a),PB=(a,0,-7 a)PC=(0,a,-7 a),设 n=（x,y,z）为平面 PBC 的一个法向量，由 n PB,得 ax-7 az=0,由 n PC,得 ay-7 az=0,令 x=1,得 z=77,y=1,n=(1,1,77)为平面 PBC 的一个法向量，设 PA 与平面 PBC 所成的角为，则 cos=30210|nPAnPA.专家把脉公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上,|nPAnPA应为直线与平面所成角的正弦值.对症下药(1)由错解和错因知,设 PA 与平面 PBC 所成的角为,则 cos=30210|nPAnPA,=arcsin30210.
15、PA 与平面 PBC 所成的角为 arcsin30210.(2)设 P(0,0,b),则 PB=(a,0,-b),PC=(0,a,-b),设 G 为PBC 的重心,则由穗主坐标公式得 G(3,3,3baa),由已知 OG平面 PBC,PBOGPCOG,得 a=b,即 PO=a，在 RtPOA 中，PA=2 a,又 AB=2 a,R=1,当 k=1 时 O在平面 PBC 内的射影为PBC 的重心。2（典型例题）如图 11-7，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD底面 ABCD，AD=PD，E、F 分别为 CD、PB 的中点。（1）求证 EF平面 PAB；（2）设 AB=2 BC，
16、求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小。考场错解 第（2）问，由已知 PDCD，PDAD，CDAD，建立如图所示的空间直角坐标系，设 BC=a，则 AB=2 a，可得 D（0，0，0）、C（2 a，0，0）、A（0，a,0）、B（a,2 a,0），以后算出 AC 的坐标，平面 AEF 的一个法向量的坐标，利用公式 sin=|nACnAC得出结果。专家把脉 B 的坐标写错，由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同，其实质还是求点的坐标不熟练所致。对症下药（1）连接 PE、BE、CF、FD。在 RtPED 中，PE=22PDED，在 RtBCE 中，BE=,22CEBC 又由已知 A
17、D=BC=PD，CD=ED，PE=BE，又 F 为 PB 中点，EFPB，又在 RtPBC 中，CF=21 PB，在 RtPDB 中，DF=21 PB，CF=DF，EFCD，又 ABCD，EFAB，EF平面 PAB；（2）由已知 PDCD，PDAD，又 ADCD，所以建立如图 11-8 所示的空间直角坐标系，设BC=a，则 AB=2 BC=2 a，得 D（0，0，0）、C（2 a,0,0）、A（0，a,0）B（2 a,a,0）、P（0，0，a），由中点坐标公式得 E（0,0,22 a），F（2,2,22aaa）)0,22(),2,2,0(),0,2(aaAEaaEFaaAC设 n=（x,y,z
18、）为平面 AEF 的一个法向量，由 n EF，得)22,22,1(,22,22,1,022,022nzyxayaxAEnzaya得令得由为平面 AEF 的一个法向量，设 AC 与平面 AEF 所成的角为，则 sin=.63|nACnACAC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin63.专家会诊求直线与平面所成角的公式为：sin=|nana,其中 a 为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为 n 应过直线上某个点，如例 4 中 n 应过 C 点，这是错误的，这里 n 是平面的任意一个法向量，再说一个向量过某一个具体的点这
19、种说法也是错误的。考场思维训练1 如图 11-9，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACB=90AC=2，BC=6，D 为 A1B1 的中点，异面直线 CD 与 A1B 垂直。（1）求直三棱术 ABC-A1B1C1 的高；答案：以 CA、CB、CC1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由已知有A1（2,0,x）、B（0，6，0）、D（1，3，x），C（0，0，0），其中 x 为直三棱柱，CDxBA),6,25(1（1，3，x）,又 A1BCD，BA1 CD=0，得（-2）1+63-x2=0,解得 x=4 或 x=-4(舍去)直三棱柱的高为 4.（2）求直线 A1B
20、 与平面 CC1A1C 所成的角。答案：由(1)知BA1=(-2，6，-4)，又 BC平面 ACC1A1 BC 为平面 CC1A1C 的个法向量,又 BC(0，-6，0)sin=.144365636|11BCBABCBA 直线 A1B 与平面 CC1A1C 所成的角为 arc sin.14432 如图，已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面边长 AB=2，侧棱 BB1 的长为 4，过点 B 作 B1C的垂线交侧棱 CC1 于点 E，交 B1C 于点 F。（1）求证：A1C平面 BED；答案：以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0
21、)、A(2，0，0)、A1(2，0，4)、B(2，2，0)，设 E(0，2，x)则 BE=(-2，0，x)，CB1=(-2，0，-4)，由已知 BE CB1 BE CB1=0,得 x=1，E(0，2，1)，BE=(-2，0，1)，BD=(-2，-2，0)，CA1=(-2，2，-4)，由CA1 BE=0 知 A1CBE，CA1 BD=0 知 A1CBD，A1C平面 BED（2）求 A1B 与平面 BDE 所成的角是正弦值。答案：由(1)知CA1=(-2，2，-4)为平面 BED 的一个法向量，BA1=(0，2，-4),sin=,630|1111BACABACA=arc sin630.A1B 与平
22、面 BDE 所成的角为 arc sin630.3 已知四棱锥 P-ABCD（如图），底面是边长为 2 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，M、N 别为AD、BC 的中点，MQPD 于 Q，直线 PC 与平面 PBA 所成角的正弦值为33（1）求证：平面 PMN平面 PAD；答案：以 A 为坐标原点，分别以 AB、AD、AP 所在的直线为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系(图略)设 PA=a，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，a)，M(0，1，0)，N(2，1，0)MN=(2，0，0)，AP=(0，0，a)，AD=(0，2，0)，
23、00ADMNAPMN,MN平面 PAD.MN 平面 PMN，平面 PMN平面 PAD.（2）求 PA 的长；答案：PC=(2，2，-a)，平面 PBA 的一个法向量为 n=AM=(0，1，0)直线 PC 与平面 PBA 成角的正弦值为33，|cos|=33 即33010)(222222222a,a=2，即 PA=2（3）求二面角 P-MN-Q 的余弦值。答案：由()，MN平面 PAD，知 MQMN,MPMN,PMQ 即为二面角 PMNQ 的平面角 而 PM=5,MQ=22，MD=22,cosPMQ=.1010522PMMQ 二面角 P-MN-Q 的余弦值为.1010命题角度 3求二面角的大小1
24、（典型例题）在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD，如图 11-12。（1）证明：AB平面 VAD；（2）求二面角 A-VD-B 的大小。考场错解（2）过 V 作 VOAD 于 O，由已知平面 VAD底面 ABCD，VO底面 ABCD，以 OA、OV 分别为 x、z 轴建立空间坐标系，则分别算出 VAD 与 VBD 的法向量 n1=（0，1，0）,n2=（1，-1，33），cos(n1n2)=-721。二面角 A-VD-B 的大小为.721arccos专家把脉 认为两平面的法微量是的夹角等于二面角的大小，这是错误的，实际上法向
25、量的夹角与二面角的平面角相等或互补。本题中 A-VD-B 为一锐二面角。对症下药（1）平面 VAD平面 ABCD，ABAD，根据两面垂直的性质和 AB平面 VAD。（2）过 V 作 VOAD 于 O，由平面 VAD平面 ABCD，得 VO底面 ABCD，可以建立如衅 11-13 所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为 1，则 A（21，0，0）、B（21，1，0）、C（-21，1，0）、D（-21，0，0）、V(0,0,23)由（1）知 AB=（0，1，0）为平面 VAD 的一个法向量，BDVB),23,1,21(（-1，-1，0），设 n=(x,y,z)为平面 VDB 的一个法向 量，由n,
26、02321,BDnzyxVB由得得，x+y=0,令x=1,得y=-1,z=-33。cos=.721|nABnAB又由图形知二面角 A-VD-B 为锐二面角，二面角 A-VB-B 的大小为 arccos721.2（典型例题）如图 11-14，已知三棱锥 P-ABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点，ABC、PEF 都是正三角形，PFAB。（1）证明：PC平面 PAB；（2）求二面角 P-AB-C 的平面角的余弦值；（3）若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12的球面上，求ABC 的边长。考场错解 以 EB、EC、EP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系。专家把脉 坐标系建立错误
27、，实际上 BEEC，PEEC 都可以证得，但 PE 与 EB 不垂直，本题用穿间向量来解没有用传统方法来解方便，建立坐标系错误或不知息样建立坐标系的穿间向量中的常见错误。对症下药 F 为 AB 中点，PFAB，PA=PB，又PEF 为正三角形，PE=PF，在PAE 与PAF 中，PE=PF，AE=AF，PAEPAF，PEA=PEF=90，又 E 为 AC 中点，PA=PC，PA=PB=PC，P 在底面 ABC 上的射影为正ABC 的中心，建立如图 11-14 所示的空间坐标系，设底面ABC 的边长为 2a，则 PA=PB=PC=2 a，PO=,3634222aaaP（0，0，36 a），C（,
28、332a 0，0），A（aa,330），C（,332a0，0），B（,33aa0）。（1）)36,33(),36,0,332(aaaPAaaPC由,0 PAPC知 PCPA，同理 PCBP，PC平面 PAB。（2）由（1）知 PC=（aa36,0,332）为平面 PAB 的一个法向量，OP=（0，0，a36）为平面 ABC 的一个法向量，cos=.33|OPPCOPPC又由图形知 P-AB-C 的平面角的余弦值为33。（3）由已知球半径为3，又 PA、PB、PC 两两互相垂直，PA2+BP2+PC2=（23）2，得 PA=2，AB=22，即正三角形的边长为 22专家会诊利用空间向量求二面角，先
29、求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：（1）根据图形判断二面角是锐角还是钝角；（2）根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法（如三垂线定理作出二面角的平面角）简单，或传统方法与空间向量相结合来解。考场思维训练1 如图，在三棱锥 P-OAC 中，OP、OA、OC 两两互相垂直，且 OP=OA=1，OC=2，B 为 OC 的中点。（1）求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值；答案：解：以 OA、OC、OP，所在直线为，x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则 O(0，0，0)、P
30、(0，0，1)、C(0，2，0)、B(0，1，0)(1)PC=(0，2，-1)，AB=(-1，1，0)，cos510AB|CP|ABPC，PC 与 AB 所成角的余弦值为510.（2）求点 C 到平面 PAB 的距离；答案：PA=(1，0，-1)，AB=(-1，1，0)，设 n1=(x，y，z)为平面 PAB 的一个法向量，则 x-z=0,x-y=0，令 x=1 得 n1=(1，1，1)为平面 PAB 的一个法向量 CB=(0，-1，0)，d=.3331|11nnCB C 到平面 PAB 的距离为33（3）求二面角 C-PA-B 的大小（用反余弦表示）。答案：AC=(-1，2，0)，PA=(1
31、，0，-1)，设 n2=(x，y，z)为平面 PAC 的一个法向量，由 2y-x=0，x-z=0，令 x=1，得 n2=(1，21，1)为平面 PAC 的一个法向量cosn1,n2=935,又由图形知 C-PA-B 为锐二面角.C-PA-B 的大小为935.2 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形，PA底面 ABCD，PA=AD=2，点 M、N 分别在棱 PD、PC 上，且 PC平面 AMN。（1）求证：AMPD；答案：解析：(1)由已知 PC平面 AMN，得 PCAM，又可得 CD平面 PAD，CDAM，AMA平面 PCD，AMPD（2）求二面角 P-AM-N 的大小；答案：以 A
32、B、AD、AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由已知 A(0，0，0)，P(0，0，2)C(2，2，0)，可以算得 N 分 PC 的比为21，N(32，32，34)、M(0，1，1)、PC =(2，2，-2)为平面 AMN 的一个法向量，AB=(2，0，0)为平面 PAM 的一个法向量，且 cos AB，PC 33.PAMN 的大小为 arc cos 33.（3）求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小。答案：CD=(-2，0，0)，sin=33|PCCDPCCD.CD 与平面 AMN 所成角为 arcsin33.3 如图所示，已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底
33、面边长为 4，AA1=6，Q 为 BB1 的中点，PDD1，MA1B1，NC1D1，AM=1，D1N=3。（1）当 P 为 DD1 的中点时，求二面角 M-PN=D1 的大小；以 A1D1为 x 轴，D1C1为 y 轴，DD1,为 z 轴，D1为原点，建立空间直角坐标系则 D1(0，0，0)、A1(4，0，0)、P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，3，0)11AD=(4，0，0)，PN=(0，3，-3)，PM=(4，1，-3)显然11AD是面 PD1N 的法向量 设面 PMN 的法向量为 n=(x，y,z)则由.00330340PNnzyzyxPMn得 y=z=2x 不妨取 n=(1，
34、2，2)，设11AD与 n 成角 则 cos=.31221004)2,2,1()0,0,4(|2222221111nADnAD=arc cos31.由题知二面角 M-PN-D1 大小为 arccos31.（2）在 DD1 上是否存在点 P，使 QD1面 PMN？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，请说明理由；答案：MN=(-4，2，0)，1QD=(-4，-4，-3)1QD MN =(-4，-4，-3)(-4，2，0)=8O QD1与 MN 不垂直 不存在点 P 使 QD1面 PMN（3）若 P 为 DD1 中点，求三棱锥 Q=PMN 的体积。答案：P(0，0，3)、M(4，1，0)、N(0，
35、3，0)、PM=(4，1，-3)，PN=(0，3，-3)，|PM|=.132232693|,cos18)3(30|26)3(14222222PNPMPNPMPNPMPN)0,4,4(.9133182621sin|21.1331341sinPQMPNPNPMPMNSMPN 由(1)取平面 PMN 的法向量 n=(1，2，2)则 Q 到平面 PNM 的距离 h=4221|84|22nPQn VQ-PMN=31 SPMNh=31 94=12命题角度 4求距离1（典型例题）如图 11-18，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE 上的点且 BF平
36、面 ACE。（1）求证：AE平面 BCE；（2）求二面角 B-AC-E 的大小；（3）求点 D 到平面 ACE 的距离。考场错解 第（3）问，以 A 为坐标原点，AB、AD 分别为 y 轴，z 轴建立空间坐标系，由（1）知AEB=90EAB=45，可得 E（1，1，0），在 RtBCE 中，F 分 CE 的比为 2，F（32,34,32），)32,32,32(BF为平面 BCE 的一个法向量，DB（0，2，-2），D 到平面 ACE 的距离d=.322|DBBFDB专家把脉 点到面的公式用错，求 A 到平面的距离的公式为,|nnad其中 a 为 A 且与相交的线段所确定的向量，n 为平面的任一
37、非零法向量。本题若用 D 到面 ACE 的距离等于 B 到面 ACE 的距离，而后者即为 BF，将会更简单。对症下药（1）BF平面 ACE，BFAE，又 D-AB-E 为直二面角，CBAB，CB平面AEB，CBAE，AE平面 BCE。（2）以 A 为坐标原点，AB、AD 分别为 y 轴、z 轴建立如衅 11-18 所示的空间坐标系，则由AEB=90，AE=EB，得EAB=45，AE=2，得 E（1，1，0），在 RtBCE 中，F 分 CB 的比为2，F（32,34,32），)32,32,32(BF为平面 ACE 的一个法向量，平面 ABC 的一人法向量为 x 轴，取 n=(1,0,0),co
38、s(n,BF)=33,又由图知 B-AC-E 为锐二面角。B-AC-E 的大小为 arccos33.(3)DB（0，2，-2）,D 到平面 ACE 的距离 d=.322|BFBFDB2（典型例题）如图 11-19，在三棱锥 S-ABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC，SA=SC=32，M、N 分别为 AB、SB 的中点（1）证明：ACSB；（2）求二面角 N-CM-B 的大小。（3）求点 B 到平面 CMN 的距离。考场错解 因为平面 SAC平面 ABC，SC平面 ABC，C 为坐标原点，CB、CS 为 y 轴、z轴建立空间坐标系。专家把脉 坐标系建立错误，实质
39、是对二面垂直的性质不熟悉所致，SC 与平面 ABC 不垂直。对症下药 取 AC 中点 O，连续 OS、OB，SA=SC，AB=BC，ACSO，ACOB，又平面 SAC平面 ABC，SOAC，SO平面 ABC，SOBO。以 OA、OB、OC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如下图。（1）A（2，0，0）、B（0，23，0）、C（-2，0，0）、S（0，0，22）、M（1，3，0）、N（0，3，2）AC=（-4，0，0），SB=（0，23，-22）,0 SBACACSB。（2）由（1）得),2,0,1(),0,3,3(MNCM设 n=（x,y,z）为平面 CMN 的一个法向量，则,
40、02033zxnMNyxnCM可得 n=（1,6,2）为平面 CMN 的一个法向量，又 OS=（0，0，22）为平面 ABC 的一个法向量，cos=,31|OSnOSn又由图知二面角 N-CM-B 的大小为锐角，二面角 N-CM-B 的大小为 arccos31。（3）由（1）、（2）得)1,6,2(),0,3,1(nMB为平面 CMN 的一个法向量。点 B 到平面 CMN 的距离 d=.324|nMBn专家会诊立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式d=|nna 的理解和记忆，其中 a 为过该点且与平面相交的线段确定的向量，n 为平面的任意一个法向量，这个任
41、意给解题带来了很大的方便。当然有些题目用空间向量来解可能没有传统方法简单。考场思维训练1 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，PC 垂直于 ABCD 所在的平面，且 PC=2。求点 B 到平面 PEF 的距离。答案：解：以 CD、CB、CP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)、P(0，0，2)、F(4，2，0)、E(2，4，0)、B(4，4，0)，PE=(2，4，-2)，DF=(4，2，-2)，设 n=(x，y，z)为平面 PEF 的一个法向量，则由 n PE,得 2x+4y-2z=0，由 n PE 得 4x+2y-2z=
42、0，令x=1，得 y=1，z=3，n=(1，1，3)为平面 PEF 的一个法向量 d=.11112|nBEn2 如图：正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长是3，侧棱长是 3，点 E、F 分别在 BB1、DD1上，且 AEA1B，AFA2C。（1）求证：A1C平面 AEF；答案：CB平面 A1B，A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B，又 A1BAE,AE 平面 A1BA1CAE同理 A1CAF，A1C平面 AEF（2）求二面角 A-EF-B 的大小；答案：以 D 为坐标原点，以 DA、DC、DD1在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)、A(3，
43、0，0)、A1(3，0，3)、C(0，3，0)，由(1)知CA1=(-3，3，-3)为平面 AEF 的一个法向量，设 n 为平面 AEB 的一个法向量，可以算得 F(0，0，1)、E(3，3，1)，BE=(0，0，1)、EF (-3，-3,0)，由 n BE,得 z=0，n EF，得 x+y=0，令 x=1，则 y=-1，n=(1，-1，0)为平面 BEF 的一个法向量cosn,CA1=,510|11CAnCAn又从图知 AEFB 为锐二面角，二面角 AEFB 的大小为 a1ccos510.（3）求点 B1 到平面 AEF 的距离。答案：B1(3，3，3)、EB1(0，0，-2)、CA1 (-
44、3，3，-3)为平面 AEF 的一个法向量，d=.1552|11CACABE3 在三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC，BC=2a，AC=a，AB=3 a，点 P 到平面 ABC 的距离为23 a（1）求二面角 P-AC-B 的大小；答案：设 O 为 BC 中点，则可证明 PO面 ABC，建立如图 3 所示的空间直角坐标系，则 A（a21，-23 a,0）、B（-a,0,0）、C(a,0,0)、P（0，0，a23），AC 中 点 D（)23,43;43(),0,23,23(),0,43,43aaaDPaaABaa，ABAC，PA=PC，PDAC，cos 即 为 二 面 角P-AC-B的 余
45、 弦 值。而cos=21491631690434904323)43)(23(22222aaaaaaaaa 二面角 P-AC-B 的大小为 60（2）求点 B到平面 PAC 的距离。答案：由（1）知 AP=（设)23,0,(),23,23,21aaCPaaan=(x,y,z)为平面 PAC 的一个法向量，则由 n.23|),0,0,2(,)32,33,1(,33,32,1,023,0232321,annBCdaBCPACnyzxazaxCPnazayaxAP的一个法向量为平面得令得得 B到平面 PAC 的距离为a23.探究开放题预测预测角度 1利用空间向量解立几中的探索性问题1如图 11-23，
46、PD面 ABCD，ABCD 为正方形，AB=2，E 是 PB 的中点，且异面直线 DP 与 AE所成的角的余弦为33。试在平面 PAD 内求一点 F，使 EF平面 PCB。解题思路 建立空间坐标系，DP 与 AE 所成的角的余弦为33，求出 E 的坐标，再设 F 的坐标，得用PCEFCBEF,求解。解答 以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 11-24 所示的穿间直角坐标系，则 A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），设 P（0，0，2m）则 E（1，1，m），)2,0,0(),1,1(mDPmAEcos=,33211222mmm得 m=1.P(0
47、,0,2),E(1,1,1)F平面 PAD，可设 F（x,0,z）,EF=(x-1,-1,z-1)、EF平面 PCB，CBEF，CBEF=0，即（x-1,-1,z-1）(2,0,0)=0,x=1,又由FCEF，得（x-1,-1,z-1）(0,z,-1)=0,得 z=0.点 F 的坐标是（1，0，0），即点 F 是 AD 的中点时 EF平面 PCB。2如图 11-25，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，面 ABCD 是一个直角梯形，AB、CD 为梯形的两腰，且 AB=AD=AA1=a。（）如果截面 ACD1 的面种为 S，求点 D 到平面 ACD1 的距离；（）当BCAB 为何值时，平面
48、 AB1C平面 AB1D1。证明你的结论。解答思路 第（1）问用传统方法的等体积法求解较为方便，第（2）问是一个探索条件的题目，在立体几何中这一类问题用空间向量是来解具有优越性。解答（1）由 VD-ACD1=VC-ADD1，过 C 作 CEAD。ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱。平面 ABCD 平 面 AA1BD，CE 平 面 ADD1A1，CE=a 是 C 到 平 面 ADD1 的 距 离。31 sh=.2,213132sahaa解得即点 D 到 ACD1 的距离为.23sa（2）分别以 A1B1，A1D1，A1A 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 11-26 所示的空间直角坐标系，
49、则A1（0，0，0）、A（0，0，a）、B1（a,0,0）,设 c(a,b,a),设 n1=(x,y,z)是平面 AB1C 的一个法向量，1AB（a,0,-a）,AC(a,b,0),n11AB=0，n1AC0，得 ax-az=0,ax+by=0,令 x=1,n1=(1,-ba,1),同理算出平面 ABD1 的法向量 n2=(1,1,1).平面 AB1C平面 AB1D1，n1n2,即 n1n2=01-ba+1=0,解得ba=2,即当2BCAB时，平面 ABC平面 AB1D1。预测角度 2利用空间向量求角和距离1已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=1，BC=a，AA1=1。（1）棱
50、BC 上是否存在点 P，使 A1PPD，说明理由；（2）若 BC 上有且仅有一点 P，使 A1PPD，试求此时的二面角 P-A1D-A 的大小。解答思路 建立空间直角坐标系，设出 P 的坐标，将问题转化为方程是否有解来求解第（1）问，第（2）问利用公式求解。解答 以 AB、AD、1AA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A（0，0，0）、A1（0，0，1）、D（0，a，0）（1）假设存在这样的 PBC，使得 A1PPD，设 P（1，y,0），则)0,1(),1,1(1yaPDyPA0121yyPDPA，y2-ay+1=0,=a2-4，当 a2 时，存在两点，使得
51、A1PDP；当 a=2 时存在一点，使得 A1PDP；当 0a2 时，不存在这样的 P 点。（2）由题意得 a=2，此时 P（1，1，0），PA1=（1，1，-1），PD（-1，1，0），设 n1=(x,y,z)为平面PA1D的一个法向量，由n1A1P及n1 PD 得：x+y-z=0,x-y=0,令x=1,得y=1,z=2,n1=(1,1,2)平面 A1DA 的法向量 n2=(1,0,0),cos=6661,又由图知 P-A1D-A 为锐二面角。P-P1D-A的大小为 arccos.66考点高分解题综合训练1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AA1 和 BB1 的中
52、点，则 CM 与 D1N 夹角的正弦值为（）32.592.554.91.DCBA答案：B 解析：以 DA、DC、DD1分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为 2，则 M（2，0，1）、N（2，2，1）、C（0，2，0）、D1（0，0，2），CM=（2，-2，2），,91|,cos),1,2,2(1111NDCMNDCMNDCMND CM 与 D1N 所成角的正弦值为954，选 B2 矩形 ABCD 的两边 AB=3，AD=4，PA平面 ABCD，且 PA=534，则二面角 A-BD-P 的度数为（）A30B45C60D75答案：A 解析：以 AB、AD、AP 分别为 x,y,
53、z 轴建立空间直角坐标系，则平面 ABCD 的法向量n1=(0,0,534),平面 BDP 的一个法向量为（4，3，35），二面角的余弦值为23，二面角的大小为 30 选 A。3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是底面 ABCD 的中点，M、N 分别是棱 DD1、D1C1 的中点，则直线 OMA是 AC 和 MN 的公垂线B垂直于 AC，但不垂直于 MNC垂直于 MN，但不垂直于 ACD与 AC、MN 都不垂直答案：B 解析：以1,DDDCDA为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0）、D1（0,0,2a）、M（0,0,a）A(2a,0,0)、C（0,2a
54、,0）、O(a,a,0)、N(0,a,2a),0,0),0,2,2(),0(),(2 aOMMNACOMaaACaaMNaaaOMOMAC,OM 与 MN 不垂直.选 B.4 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 是 AC 的中点，AB1BC1，则平面 DBC1 积与平面 CBC1 所成的角为（）A30B45C60D90答案：B 解析：以 A 为坐标原点，AC、AA1所在的直线分别为 y 轴和 z 轴建立空间坐标系，设底面边长为 2a,侧棱长为 2b,则 A（0，0，0）C（0,2a,0）、D（0,a,0）、B（a3,a,0）、C1（0,2a,2b）、B1（a3,a,2b）由0,1111B
55、CABBCAB得，即 2b2=a2，分别算出 DBC1与平面 CBC1的一个法向量，利用公式 cos=,|2121nnnn 得=45。选 B。5 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB=90，BC=AC=2，AA1=4，D 为棱 CC1 上的一动点，M、N 分别为ABD、A1B1D 的重心。（1）求证：MNBC；答案：设 C1D=a(0a4),依题意有：D（0,0,a）、A（2，0，4）、B（0，2，4）、C（0，0，4）、C2（0，0，0），因为 M、N 分别为ABC、A1B1D 的重心。所以 M（)38,32,32a），N（,32,323a）.,0)0,1,0()38,0,0()
56、,38,0,0(BCMNCBNMNM（2）若二面角 C-AB-D 的大小为 arctan2,求点 C1 到平面 A1B1D 的距离；答案：因为平面 ABC 的法向量 n1(0,0,-1),设平面 ABD 的法向量 n2(x1,y1,z1),00),()0,2,2(0),()4,0,2(021111112nABzyxzyxanAD),42,1,1(1),42,(211112anxxaxxn令 设二面角 C-AB-D 为，则由 tan=2,33cos因此,233|361622|)42(242|cos222121aaaaannnn设 平 面A1B1D的 法 向 量 为n3(x,y,z)，则1),(0
57、),()2,0,2(0),()2,0,2(0BA0DA331131xxxxnzyxzyxnn令 有 n3=(1，1，1)，设 C1 到平面 A1B1D 的距离为 d，则 d=.332|1|33nnDA（3）若点 C 在ABD 上的射影正好为 M，试判断点 C1 在A1B1D 的射影是否为 N？并说明理由。答案：若点 C 在平面 ABD 上的射影正好为 M，则 CM 0ADCMAD,即(34,32,32a)(-2，0，0，a-4)=02343)4(2aa,a=6(舍)，因此 D 为 CC1的中点，根据对称性可知 Cl在平面 A1B1D 的射影正好为 N.6 四棱锥 P=ABCD 中，ABCD，C
58、DAD，PA底面 ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点。（1）求证 BM平面 PAD；答案：取 PD 的中点 E，连结 AE、ME，M 为 PC 的中点，EM 21 CD，又 AB 21 CD，ME AB，四边形 ABME 是平行四边形，BMEA，BM 平面 PAD，BM平面 PAD（2）在PAD 内找一点 N，使 MN平面 PBD；答案：以 A 为坐标原点，以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 B(1，1，0)、C(2，2，0)、D(0，2，0)、M(1，1，1)、E(0，1，1)在平面 PAD 内设 N(0，y，z)，则 M
59、N=(-1，x-1，z-1)，PB=(1，0，-2)，DB(1，-2，0)，由 MN PB，MN DB，有-1-2(z-1)=0，-1-1(y-1)=0，y=21,z=21,即 N(0，21,21)，当 N 为PAD 边 PD 中线的中点时 MN面 PBD（3）求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值。答案：设 PC 与平面 PBD 所成的角为，PC=(2，2，-2)，MN=(-1，-21,-21)，sin=32，直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为32.7 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，A1 在底面上的射影在线段 AC 上，底面ABC 是以B 为直角的等腰三角形，M 为 A
60、C 的中点，又 AB=AA1=a（1）求证：BMAA1；答案：在三棱柱 ABC-A1BC1中，A1在底面的射影落在线段 AC 上，因此平面 A1ACC1底面 ABC，又底面ABC 是以 AC 为底的等腰三角形，M 为 AC 的中点，BMAC BM平面 A1ACC1，从而 BMA1A（2）若 A1C平面 BMC1，求证：三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱。答案：以 M 为坐标原点，MB、MC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，则 M(0，0，0)、B(22 a，0，0)，设 C1(0，22 a+b,c)则 A1(0，-22 a+b,c)，MC1=(0，-22 a-b，-c
61、),1BC=(-22 a,22 a+b,c)CA1=(0,2 a-b,-c)由 CA1 MC1=0，得-a2+b2-22 ab+c2=0,又c2=a2-b2,22 ab=0，得 b=0，即 A1(0，-22 a,c)1AA=(0，0，c)，1AA 底面 ABC 三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱8 四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形，).1,2,1(),0,2,4(),4,1,2(APADAB（1）求证：PA底面 ABCD；答案：,0,0ADAPABAP APPB，APAD，AP底面 ABCD（2）求四棱锥 P-ABCD 的体积；答案：设BAD=，cos=,105
62、3|ADABADAB sin=3524,S ABCD=|AB|AD|sin=86.VP-ABCD=31 S ABCD|AP|=16（3）对 于 向 量a=（x1,y1,z1）.b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3)定 义 一 种 运 算：（ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1 试计算（ADAB）AP的绝对值的值；说明其与四棱锥 P-ABCD 体积的关系，并同此猜想这一运算（ADAB）AP的绝对值的几何意义。答案：|(AB AD)AP|=48，它是 P-ABCD 体积的 3 倍，可以猜想|(AB AD)AP|在几何上表示以 AB、AD,AP 为棱的平行六面体的体积