1、课时作业(七十五)数系的扩充与复数的引入一、选择题1(2014新课标全国)()A1iB1iC1iD1i答案：D解析：(1i)(1i)1i，故应选D.2(2015济宁模拟)已知i是虚数单位，复数z(1i)(i)，是z的共轭复数，则的虚部为()A4B4C2D2答案：A解析：zi23ii4i，4i，虚部为4.故应选A.3复数z满足(zi)(2i)5，则z()A22iB22iC22iD22i答案：D解析：由题意知，zii22i.故应选D.4下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2；p2：z22i；p3：z的共轭复数为1i；p4：z的虚部为1.其中的真命题为()Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp
2、3，p4答案：C解析：z1i，|z|，z2(1i)2(1i)22i，z的共轭复数为1i，z的虚部为1，综上可知p2，p4是真命题故应选C.5在复平面内，复数zcos 3isin 3(i是虚数单位)对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：B解析：因为3 ，所以cos 30，故点(cos 3，sin 3)在第二象限，即复数zcos 3isin 3对应的点位于第二象限故应选B.6若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35iB35iC35iD35i答案：A解析：因为z35i，故应选A.7若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AEBF
3、CGDH答案：D解析：依题意，得z3i，2i，该复数对应的点的坐标是(2，1)，由图知为点H.故应选D.8(2013山东)复数z(i为虚数单位)，则|z|()A25BC5D答案：C解析：z43i，|z|5，故应选C.9(2015青岛质检)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为()A2B2CD答案：A解析：i，0，0，a2.故应选A.10对于任意的两个数对(a，b)和(c，d)，定义运算(a，b)*(c，d)adbc，若(1，1)*(z，zi)1i，则复数z为()A2iB2iC1Di答案：D解析：由已知条件所给出的定义，得(1，1)*(z，zi)ziz1i，解得zi，故应选D.二、填空题1
4、1已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_.答案：解析：2i，所以|z|.12若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.答案：3解析：由abi，得a，b，解得b3，a0，所以ab3.13已知复数z1i，则_.答案：2i解析：z1(i)i2i.14(2015济南模拟)若复数z满足z1cos isin ，则|z|的最大值为_答案：2解析：z1cos isin ，z(1cos )isin ，|z|2.15在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|_.答案：2解析：由题意知(1,1)，(1,3)，故|2.16已知复数2i与复数在复平面内对应的点分别是A与B，则AOB_.答
5、案：24解析：点A的坐标为(3，a)，则|3，又，则O，P，A三点共线，|72，则|，设OP与x轴夹角为，则OP在x轴上的投影长度为|cos |24，即线段OP在x轴上的投影长度的最大值为24.三、解答题17已知关于x的方程x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b.(1)求实数a，b的值；(2)若复数满足|abi|2|z|0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值解：(1)b是方程x2(6i)x9ai0(aR)的实根，(b26b9)(ab)i0，解得ab3.(2)设zsti(s，tR)，其对应点为Z(s，t)，由|33i|2|z|，得(s3)2(t3)24(s2t2)，即(s1)2(t1)28，点Z的轨迹是以O1(1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示，当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值|OO1|，半径r2，当z1i时，|z|有最小值且|z|min.18已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解：设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2，(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)5