2023新教材高考数学二轮专题复习 第二部分 方法探究 探究一 重温基础高考“七分”靠实力三分靠心态 五 数列.docx

1、五数列【必 记 结 论】1.等差数列设Sn为等差数列an的前n项和，则(1)ana1(n1)dam(nm)d，若pqmn，则apaqaman.(2)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成的数列是等差数列(3)Snnd2na1-d2是关于n的一次函数或常数函数，数列Snn也是等差数列(4)Snna1+an2na2+an-12na3+an-22.(5)若等差数列an的项数为偶数2m(mN*)，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)(am，am1为中间两项)，S偶S奇md，S偶S奇am+1am.(6)若等差数列an的项数为奇数2m1(mN*)，所有奇数

2、项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am(am为中间项)，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，S奇S偶mm-1.(7)若Smn，Snm(mn)，则Smn(mn)2等比数列(1)anamqnm，anmanqmamqn(m，nN*)(2)若mnpq，则amanapaq；反之，不一定成立(m，n，p，qN*)(3)an，bn成等比数列，则an，1an，anbn，anbn成等比数列(0，nN*)(4)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶S奇q.(5)通项公式ana1qn1a1qqn，从函数的角度来看，它可以看作是一

3、个常数与一个关于n的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点(6)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数(7)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为xq，x，xq；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为xq3，xq，xq，xq3.3求数列通项公式的常用方法(1)已知Sn(a1a2anSn)，求an，用作差法：anS1n=1，Sn-Sn-1n2(2)已知a1a2anf(n)，an0，求an，用作商法：anf1n=1，fnfn-1n2(3)已知an1anf(n)，求an，用累加法：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1f

4、(n1)f(n2)f(1)a1(n2)(4)已知an+1anf(n)，求an，用累乘法：ananan-1an-1an-2a2a1a1f(n1)f(n2)f(1)a1(n2)(5)构造等比数列法：若已知数列an中，an1panq(p0，p1，q0)，a1q1-p，设存在非零常数，使得an1p(an)，其中qp-1，则数列an+qp-1就是以a1qp-1为首项，p为公比的等比数列，先求出数列an+qp-1的通项公式，再求出数列an的通项公式即可4数列求和的常用方法(1)公式法：等差数列的求和公式；等比数列的求和公式；常用公式，即123n12n(n1)，122232n216n(n1)(2n1)，13

5、5(2n1)n2，nN*.(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用的裂项形式有1nn+11n-1n+1；1nn+k1k1n-1n+k；1k21k2-1121k-1-1k+

6、1，1k-1k+11k+1k1k21k-1k1k-1-1k；1nn+1n+212 1nn+1-1n+1n+2.【易 错 剖 析】易错点1不清楚an与Sn的关系【突破点】已知数列an的前n项和Sn，求an时，利用anSnSn1，需注意分n1和n2两种情况讨论易错点2不清楚裂项和拆项的规律，导致多项或少项【突破点】“裂项法”的特点：分式的每个分子相同，分母都是两个(或三个)代数式相乘，若不具备就需要转化；剩余项一般是前后对称常见形式有：ann+1，an2+2n，an+n+1.易错点3忽视对等比数列中公比的分类讨论【突破点】在解决等比数列an的前n项和时，通常只想到Sna11-qn1-q，把q1的情

7、况不自觉地排除在外，这是对前n项和公式理解不透所致解等比数列的问题，一定要注意对公比的分类讨论【易 错 快 攻】易错快攻一忽视对n1的检验失分典例12022新高考卷记Sn为数列an的前n项和，已知a11，Snan是公差为13的等差数列(1)求an的通项公式；(2)证明：1a1+1a21an2.听课笔记：易错快攻二忽视公比q的取值典例2已知数列an的前n项和SnAqnB(q0)，则“AB”是“数列an是等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件听课笔记：五数列典例1解析：(1)a11，S1a1，S1a11，又Snan是公差为13的等差数弄，Snan113

8、(n1)n+23，Snn+2an3，当n2时，Sn1n+1an-13，anSnSn1n+2an3-n+1an-13，整理得：(n1)an(n1)an1，即anan-1n+1n-1，ana1a2a1a3a2an-1an-2anan-113142nn-2n+1n-1nn+12，显然对于n1也成立，an的通项公式annn+12；(2)证明：1an2nn+12(1n-1n+1)1a1+1a21an2(112)(12-13)(1n-1n+1)2(11n+1)2.典例2解析：当AB时，SnAqnA，则anAqn1(q1)，当q1或A0时，an0，此时数列an不是等比数列若数列an是等比数列，当q1时，Snna1，此时不具备SnAqnB(q0)的形式，故q1，则Sna11-qn1-qa11-q-a11-qqn，此时Aa11-q，Ba11-q，AB.综上，“AB”是“数列an是等比数列”的必要不充分条件故选B.答案：B5