1、三函数、导数【必 记 结 论】1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围若已知f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域为不等式ag(x)b的解集；反之，已知f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为函数yg(x)(xa，b)的值域(2)常见函数的值域一次函数ykxb(k0)的值域为R.二次函数yax2bxc(a0)：当a0时，值域为4ac-b24a，)，当a0fx1-fx2x1-x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2) f(x1)f(x2)0fx1-fx2x1-x20，且a1)恒过(0，1)
2、点；ylogax(a0，且a1)恒过(1，0)点(2)单调性：当a1时，yax在R上单调递增；ylogax在(0，)上单调递增；当0a0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f(x)0(或f(x)0(0)(x(a，b)是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件(2)对可导函数f(x)在(a，b)上为单调增(减)函数的充要条件为：对于任意x(a，b)，有f(x)0(0)且f(x)在(a，b)内的任何子区间上都不恒为零若求单调区间，可用充分条件若由单调性求参数，可用充要条件即f(x)0(或f(x)0)，否则容易漏解【易 错 快 攻】易错快攻一混淆“切点”致误典例12022新高考卷若曲
3、线y(xa)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_听课笔记：易错快攻二混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”典例2设函数f(x)3x2+axex(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围听课笔记：三函数、导数典例1解析：设切线的切点坐标为(x0，y0)令f(x)(xa)ex，则f(x)(x1a)ex，f(x0)x0+1+aex0.因为y0x0+aex0，切线过原点，所以f(x0)y0x0，即x0+1+aex0x0+aex0x0.整理，得x02ax0
4、a0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以a24a0，解得a4或a0.答案：(，4)(0，+)典例2解析：(1)对f(x)求导得f(x)6x+aex-3x2+axexex2-3x2+6-ax+aex.因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)3x2ex，f(x)-3x2+6xex，故f(1)3e，f(1)3e，从而曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y3e3e(x1)，化简得3xey0.(2)方法一f(x)-3x2+6-ax+aex.令g(x)3x2(6a)xa，设x1，x2为g(x)0的两根，则x16-a-a2+366，x26-a+a2+366.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，此时f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，此时f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，此时f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，得x26-a+a2+3663，解得a92，故a的取值范围为92，)方法二f(x)-3x2+6-ax+aex，由题意知3x2(6a)xa0对任意的x3，)恒成立(且不恒等于0)，分离参数得a6x-3x2x-1(x3)令tx1，则xt1，且t2，所以a6t+1-3t+12t-3t2+3t3t3t在2，)上恒成立，故a(3t3t)max63292.经检验，a92时满足题意故a的取值范围为92，)
